Mostre que não existem números racionais
e
tais que
Dica: suponha que
, com
, e chegue a uma contradição.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem
tais que
O conteúdo envolve irracionalidade de raízes quadradas e usaremos um argumento por contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam
satisfazendo
Passo 3
Verifiquemos casos triviais:
Se , então
leva a
, absurdo.
Se , então
leva a
, também absurdo.
Logo, e
.
Se
Se
Logo,
Passo 4
Isolando
na hipótese,
e elevando ao quadrado obtemos
Dessa forma,
pois
são racionais. Assim
o que contradiz a irracionalidade de
.
Resposta
Não existem
tais que
.