Mostre que não existem números racionais a e b tais que
4=a raiz2+b raiz3
Dica: suponha que 4=a raiz2+b raiz3, com a, b in Q, e chegue a uma contradição.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem a,binQ tais que
4 = araiz2 + braiz3
O conteúdo envolve irracionalidade de raízes quadradas e usaremos um argumento por contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam a,binQ satisfazendo
4 = araiz2 + braiz3

Passo 3

Verifiquemos casos triviais:
Se a=0, então braiz3=4 leva a raiz3=4/binQ, absurdo.
Se b=0, então araiz2=4 leva a raiz2=4/ainQ, também absurdo.
Logo, aneq0 e bneq0.

Passo 4

Isolando araiz2 na hipótese,
araiz2 = 4 - braiz3,
e elevando ao quadrado obtemos
2a^2 = (4 - braiz3)^2 = 16 -8braiz3 + 3b^2
Dessa forma,
8braiz3 = 16 + 3b^2 - 2a^2 in Q,
pois a,b são racionais. Assim
raiz3 = 16 + 3b^2 - 2a^28binQ,
o que contradiz a irracionalidade de raiz3.

Resposta

Não existem a,binQ tais que 4 = araiz2 + braiz3.

Exercícios relacionados