[4, Ex.2, p.948] Calcule a integral
, onde
, utilizando três ordens diferentes de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei tudo do enunciado):
- Calcular a integral tripla
. - O conjunto
é o paralelepípedo retangular - A tarefa adicional: realizar o cálculo usando três ordens diferentes de integração (isto é, três maneiras distintas de escrever a integral iterada).
Passo 2
Ideias e ferramentas que vou usar (explicação didática, passo a passo):
-
Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em fórmulas:Aqui
e . -
Se a região
é um produto de intervalos (isto é, um “caixote” retangular) e a função é um produto de funções de variáveis separadas, então a integral tripla se separa em produto de integrais unidimensionais. Por exemplo, para em vale -
Também é útil observar simetrias:
porque a função é ímpar em torno de zero; isso costuma anular termos que dependem linearmente de quando o intervalo de é simétrico.
Com isso em mente, vou calcular a mesma integral em três ordens diferentes de integração, mostrando cada passo do cálculo de integrais internas para externas.
Passo 3
Ordem 1: integrar primeiro em
, depois em
, depois em
. Escrevendo a integral iterada:
Calculo da integral interna em
:
Agora integro em
:
Finalmente integro em
:
Passo 4
Ordem 2: integrar primeiro em
, depois em
, depois em
. Escrevo a integral:
Integral interna em
:
Agora em
:
Finalmente em
:
que já calculamos no passo anterior e é igual a
.
Passo 5
Ordem 3: integrar primeiro em
, depois em
, depois em
. Escrevo a integral:
Integral interna em
:
onde usei que
porque
é função ímpar no intervalo simétrico
.
Agora integro em
:
Finalmente em
:
Passo 6
Comentário final e interpretação (para fixar a ideia):
- Em todas as três ordens obtivemos o mesmo resultado
, como deve acontecer para integrandas contínuas sobre um paralelepípedo: a integral tripla é bem definida e a ordem de integração pode ser trocada. - A parte
da integranda não contribuiu ao resultado final quando integrada sobre , porque . A contribuição total veio do termo , cujo efeito foi multiplicado pelos comprimentos dos intervalos em e .