[4, Ex.2, p.948] Calcule a integral iiint_{B}\left(x z-y^{3}\right) d V, onde B=\{(x, y, z) \mid-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 1\}, utilizando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei tudo do enunciado):
  • Calcular a integral tripla \iiint_{B}\left(x z-y^{3}\right)\,dV.
  • O conjunto B é o paralelepípedo retangular B=\{(x,y,z)\mid -1\le x\le 1,\;0\le y\le 2,\;0\le z\le 1\}.
  • A tarefa adicional: realizar o cálculo usando três ordens diferentes de integração (isto é, três maneiras distintas de escrever a integral iterada).

Passo 2

Ideias e ferramentas que vou usar (explicação didática, passo a passo):
  • Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em fórmulas:
    \iiint_B (f+g)\,dV=\iiint_B f\,dV+\iiint_B g\,dV, \qquad \iiint_B c\,f\,dV=c\iiint_B f\,dV.
    Aqui f(x,y,z)=xz e g(x,y,z)=-y^3.
  • Se a região B é um produto de intervalos (isto é, um “caixote” retangular) e a função é um produto de funções de variáveis separadas, então a integral tripla se separa em produto de integrais unidimensionais. Por exemplo, para h(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) em B=[a,b]\times[c,d]\times[e,f] vale
    \iiint_B h\,dV=\left(\int_a^b X(x)\,dx\right)\left(\int_c^d Y(y)\,dy\right)\left(\int_e^f Z(z)\,dz\right).
  • Também é útil observar simetrias: \int_{-a}^{a} x\,dx=0 porque a função x é ímpar em torno de zero; isso costuma anular termos que dependem linearmente de x quando o intervalo de x é simétrico.
Com isso em mente, vou calcular a mesma integral em três ordens diferentes de integração, mostrando cada passo do cálculo de integrais internas para externas.

Passo 3

Ordem 1: integrar primeiro em z, depois em y, depois em x. Escrevendo a integral iterada:
\iiint_{B}(xz-y^{3})\,dV=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{1}(xz-y^{3})\,dz\,dy\,dx.
Calculo da integral interna em z:
\int_{z=0}^{1}(xz-y^{3})\,dz = x\int_{0}^{1}z\,dz - y^{3}\int_{0}^{1}1\,dz = x\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{1} - y^{3}[z]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}x - y^{3}.
Agora integro em y:
\int_{y=0}^{2}\left(\tfrac{1}{2}x - y^{3}\right)\,dy = \tfrac{1}{2}x\int_{0}^{2}1\,dy - \int_{0}^{2}y^{3}\,dy = \tfrac{1}{2}x\,[y]_{0}^{2} - \left[\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}x\cdot 2 - \tfrac{1}{4}\cdot 16 = x - 4.
Finalmente integro em x:
\int_{x=-1}^{1}(x-4)\,dx =\int_{-1}^{1}x\,dx - 4\int_{-1}^{1}1\,dx =\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{-1}^{1} - 4[x]_{-1}^{1} = \big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\big) - 4(1-(-1)) = 0 - 8 = -8.

Passo 4

Ordem 2: integrar primeiro em y, depois em z, depois em x. Escrevo a integral:
\iiint_{B}(xz-y^{3})\,dV=\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{2}(xz-y^{3})\,dy\,dz\,dx.
Integral interna em y:
\int_{y=0}^{2}(xz-y^{3})\,dy = xz\int_{0}^{2}1\,dy - \int_{0}^{2}y^{3}\,dy = xz\,[y]_{0}^{2} - \left[\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{2} = 2xz - 4.
Agora em z:
\int_{z=0}^{1}(2xz-4)\,dz = 2x\int_{0}^{1}z\,dz - 4\int_{0}^{1}1\,dz = 2x\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{1} - 4[z]_{0}^{1} = 2x\cdot \tfrac{1}{2} - 4\cdot 1 = x - 4.
Finalmente em x:
\int_{x=-1}^{1}(x-4)\,dx
que já calculamos no passo anterior e é igual a -8.

Passo 5

Ordem 3: integrar primeiro em x, depois em y, depois em z. Escrevo a integral:
\iiint_{B}(xz-y^{3})\,dV=\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{2}\int_{x=-1}^{1}(xz-y^{3})\,dx\,dy\,dz.
Integral interna em x:
\int_{x=-1}^{1}(xz-y^{3})\,dx = z\int_{-1}^{1}x\,dx - y^{3}\int_{-1}^{1}1\,dx = z\cdot 0 - y^{3}\cdot 2 = -2y^{3},
onde usei que \int_{-1}^{1}x\,dx=0 porque x é função ímpar no intervalo simétrico [-1,1].
Agora integro em y:
\int_{y=0}^{2}(-2y^{3})\,dy = -2\int_{0}^{2}y^{3}\,dy = -2\left[\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{2} = -2\cdot 4 = -8.
Finalmente em z:
\int_{z=0}^{1}(-8)\,dz = -8\cdot 1 = -8.

Passo 6

Comentário final e interpretação (para fixar a ideia):
  • Em todas as três ordens obtivemos o mesmo resultado -8, como deve acontecer para integrandas contínuas sobre um paralelepípedo: a integral tripla é bem definida e a ordem de integração pode ser trocada.
  • A parte xz da integranda não contribuiu ao resultado final quando integrada sobre x\in[-1,1], porque \int_{-1}^{1}x\,dx=0. A contribuição total veio do termo -y^{3}, cujo efeito foi multiplicado pelos comprimentos dos intervalos em x e z.

Resposta

-8

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