11- Achar a solução de
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{e^{y}-x}, \quad y(1)=0
Dica: Considere x e não y como variável dependente.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{e^{y}-x},\qquad y(1)=0.
O que o problema pede é a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. O enunciado ainda sugere trocar a dependência: considerar x como função de y (isto é, inverter a relação). Vou listar as informações relevantes:
  • A equação diferencial relaciona \dfrac{dy}{dx} com x e y.
  • A condição inicial é \,y(1)=0, ou seja, quando x=1 temos y=0.
  • Dica: tratar x como variável dependente (usar \dfrac{dx}{dy}).

Passo 2

Por que inverter? Aqui a expressão para \dfrac{dy}{dx} tem denominador e^{y}-x. No ponto inicial (x,y)=(1,0) temos e^{0}-1=0, então \dfrac{dy}{dx} é (formalmente) infinito: isso indica tangente vertical em x=1. Invertendo a derivada obtemos uma equação para \dfrac{dx}{dy} que fica mais simples e regular em torno de y=0. Tomando recíproco da equação original obtemos
\frac{dx}{dy}=e^{y}-x.
Agora a incógnita é x vista como função de y.

Passo 3

Reconhecer o tipo de equação. A equação obtida
\frac{dx}{dy}+x=e^{y}
é uma equação diferencial linear de primeira ordem na função x(y). A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em x(y) é
\frac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y),
onde aqui P(y)=1 e Q(y)=e^{y}. Para resolver esse tipo de equação usa-se o fator integrante.

Passo 4

Fator integrante. O fator integrante \mu(y) é dado por
\mu(y)=\exp\!\left(\int P(y)\,dy\right)=\exp\!\left(\int 1\,dy\right)=e^{y}.
Multiplicando a equação por \mu(y)=e^{y} obtemos
e^{y}\frac{dx}{dy}+e^{y}x = e^{y}\cdot e^{y}=e^{2y}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{y}x, isto é,
\frac{d}{dy}\big(e^{y}x\big)=e^{2y}.

Passo 5

Integrar em relação a y. Integramos ambos os lados:
\int \frac{d}{dy}\big(e^{y}x\big)\,dy = \int e^{2y}\,dy.
A integral do lado esquerdo é e^{y}x. A integral do lado direito é
\int e^{2y}\,dy = \frac{1}{2}e^{2y}+C,
onde C é constante de integração. Portanto
e^{y}x=\frac{1}{2}e^{2y}+C.

Passo 6

Isolar x. Dividindo por e^{y} encontramos a expressão de x em função de y:
x(y)=\frac{1}{2}e^{y}+C e^{-y}.
Esta é a solução geral da equação linear para x (em termos de y). Aqui C é um número que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 7

Usar a condição inicial para achar C. A condição inicial dada é \,y(1)=0, que significa que quando x=1 temos y=0. Como temos x em função de y, aplicamos y=0 e exigimos x(0)=1:
x(0)=\frac{1}{2}e^{0}+C e^{0}=\frac{1}{2}+C \stackrel{!}{=}1.
Daí C=\tfrac{1}{2}. Substituindo em x(y) obtemos
x(y)=\frac{1}{2}e^{y}+\frac{1}{2}e^{-y}=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}.
Reconhece-se a função hiperbólica cosseno hiperbólico, isto é,
x(y)=\operatorname{cosh}(y).
Isso nos dá x em função de y. A última etapa é inverter essa relação para obter y como função de x e escolher o ramo correto pela condição inicial.

Passo 8

Inverter x=\operatorname{cosh}(y) para obter y(x). A função \operatorname{cosh}(y) é crescente para y\ge0 e tem \operatorname{cosh}(0)=1. Como a condição inicial dá y(1)=0, devemos escolher o ramo com y\ge0. A inversa da função \operatorname{cosh} no ramo principal é a função \operatorname{arcosh}. Uma expressão explícita para \operatorname{arcosh} é
\operatorname{arcosh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}-1}\,\big),
válida para x\ge1. Portanto a solução y(x) que satisfaz a condição inicial é a inversa apropriada de \operatorname{cosh}.

Resposta

y(x)=\operatorname{arcosh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}-1}\,\big),\qquad x\ge1

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