11- Achar a solução de
Dica: Considere
e não
como variável dependente.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que o problema pede é a função
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. O enunciado ainda sugere trocar a dependência: considerar
como função de
(isto é, inverter a relação). Vou listar as informações relevantes:
- A equação diferencial relaciona
com e . - A condição inicial é
, ou seja, quando temos . - Dica: tratar
como variável dependente (usar ).
Passo 2
Por que inverter? Aqui a expressão para
tem denominador
. No ponto inicial
temos
, então
é (formalmente) infinito: isso indica tangente vertical em
. Invertendo a derivada obtemos uma equação para
que fica mais simples e regular em torno de
. Tomando recíproco da equação original obtemos
Agora a incógnita é
vista como função de
.
Passo 3
Reconhecer o tipo de equação. A equação obtida
é uma equação diferencial linear de primeira ordem na função
. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em
é
onde aqui
e
. Para resolver esse tipo de equação usa-se o fator integrante.
Passo 4
Fator integrante. O fator integrante
é dado por
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, isto é,
Passo 5
Integrar em relação a
. Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
Isolar
. Dividindo por
encontramos a expressão de
em função de
:
Esta é a solução geral da equação linear para
(em termos de
). Aqui
é um número que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 7
Usar a condição inicial para achar
. A condição inicial dada é
, que significa que quando
temos
. Como temos
em função de
, aplicamos
e exigimos
:
Daí
. Substituindo em
obtemos
Reconhece-se a função hiperbólica cosseno hiperbólico, isto é,
Isso nos dá
em função de
. A última etapa é inverter essa relação para obter
como função de
e escolher o ramo correto pela condição inicial.
Passo 8
Inverter
para obter
. A função
é crescente para
e tem
. Como a condição inicial dá
, devemos escolher o ramo com
. A inversa da função
no ramo principal é a função
. Uma expressão explícita para
é
válida para
. Portanto a solução
que satisfaz a condição inicial é a inversa apropriada de
.