Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=(x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=(x-1)^{2}.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) dessa equação, ou seja a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O termo à direita é o polinômio (x-1)^{2}, que ao expandir é x^{2}-2x+1.
  • Como é uma EDO de ordem 4, a solução geral terá quatro constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0.
Passo padrão: procurar soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo essa forma na homogênea obtém-se o polinômio característico em r:
r^{4}+2r^{2}+1=0.
Agora vamos resolver esse polinômio característico.

Passo 3

Observe que o polinômio característico pode ser fatorado como um quadrado:
r^{4}+2r^{2}+1=(r^{2}+1)^{2}.
Logo as raízes são as soluções de r^{2}+1=0, i.e. r^{2}=-1. Portanto
r=i \quad\text{e}\quad r=-i,
cada uma com multiplicidade 2 (porque o fator está ao quadrado).
Agora explico o que isso implica para a forma da solução homogênea. Quando se tem raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta de multiplicidade m, as soluções reais associadas são da forma x^{k}e^{\alpha x}\cos(\beta x) e x^{k}e^{\alpha x}\sin(\beta x) para k=0,1,\dots,m-1. Aqui \alpha=0, \beta=1, e a multiplicidade é 2, logo temos os fatores com k=0 e k=1.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias. (Cada C_i é uma constante real que aparece por causa da ordem 4 da equação.)

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=(x-1)^{2}.
Usamos o método dos coeficientes a determinar: fazemos um palpite (ansatz) para y_{p} com a forma do lado direito (polinômio de grau 2) e determinamos os coeficientes impondo que a equação seja satisfeita.
Regra prática: se o termo não-homogêneo é um polinômio de grau n, tentamos um polinômio de grau n para y_{p}, a menos que exista ressonância com a solução homogênea (i.e. r=0 seja raiz do polinômio característico). Neste problema, o termo é polinômio de grau 2. Vamos verificar ressonância: avaliar o polinômio característico em r=0,
p(0)=0^{4}+2\cdot0^{2}+1=1\neq 0.
Como p(0)\neq 0, não há ressonância com soluções polinomiais (não é preciso multiplicar o ansatz por potências de x). Portanto tentamos
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são constantes a determinar.

Passo 5

Calculemos as derivadas necessárias de y_{p}. Como é um polinômio de grau 2, as derivadas até a quarta ordem são simples:
y_{p}'(x)=2ax+b,
y_{p}''(x)=2a,
y_{p}'''(x)=0,
y_{p}^{(4)}(x)=0.
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial completa.

Passo 6

Substituindo em \dfrac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=(x-1)^{2} obtemos, para y_{p},
0 + 2\cdot(2a) + (ax^{2}+bx+c) = (x-1)^{2}.
Isto simplifica para
ax^{2}+bx+(c+4a)=x^{2}-2x+1,
pois (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Agora igualamos coeficiente a coeficiente dos polinômios (igualdade de polinômios vale para cada potência de x).

Passo 7

Comparando coeficientes em ambos os lados:
  • Coeficiente de x^{2}: \;a=1.
  • Coeficiente de x: \;b=-2.
  • Termo constante: \;c+4a=1. Como a=1, isso dá c+4=1, então c=-3.
Portanto os coeficientes determinados são a=1, b=-2, c=-3. Logo
y_{p}(x)=x^{2}-2x-3.

Passo 8

A solução geral y(x) da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea y_{h} e da particular y_{p}:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo as expressões obtidas:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x + x^{2}-2x-3,
com C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} constantes arbitrárias reais.
Se quiser, dá para checar rápido: as derivadas de x^{2}-2x-3 colocadas no lado esquerdo produzem exatamente x^{2}-2x+1 por conta do termo +4a que apareceu — isso foi checagem implícita no passo de igualar coeficientes.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x + x^{2}-2x-3

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