Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial:
O que é pedido: encontrar a solução geral
dessa equação, ou seja a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes.
- O termo à direita é o polinômio
, que ao expandir é . - Como é uma EDO de ordem 4, a solução geral terá quatro constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
Passo padrão: procurar soluções da forma
. Substituindo essa forma na homogênea obtém-se o polinômio característico em
:
Agora vamos resolver esse polinômio característico.
Passo 3
Observe que o polinômio característico pode ser fatorado como um quadrado:
Logo as raízes são as soluções de
, i.e.
. Portanto
cada uma com multiplicidade
(porque o fator está ao quadrado).
Agora explico o que isso implica para a forma da solução homogênea. Quando se tem raízes complexas conjugadas
de multiplicidade
, as soluções reais associadas são da forma
e
para
. Aqui
,
, e a multiplicidade é
, logo temos os fatores com
e
.
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. (Cada
é uma constante real que aparece por causa da ordem 4 da equação.)
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Usamos o método dos coeficientes a determinar: fazemos um palpite (ansatz) para
com a forma do lado direito (polinômio de grau 2) e determinamos os coeficientes impondo que a equação seja satisfeita.
Regra prática: se o termo não-homogêneo é um polinômio de grau
, tentamos um polinômio de grau
para
, a menos que exista ressonância com a solução homogênea (i.e.
seja raiz do polinômio característico). Neste problema, o termo é polinômio de grau 2. Vamos verificar ressonância: avaliar o polinômio característico em
,
Como
, não há ressonância com soluções polinomiais (não é preciso multiplicar o ansatz por potências de
). Portanto tentamos
onde
são constantes a determinar.
Passo 5
Calculemos as derivadas necessárias de
. Como é um polinômio de grau 2, as derivadas até a quarta ordem são simples:
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial completa.
Passo 6
Substituindo em
obtemos, para
,
Isto simplifica para
pois
.
Agora igualamos coeficiente a coeficiente dos polinômios (igualdade de polinômios vale para cada potência de
).
Passo 7
Comparando coeficientes em ambos os lados:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
. Como , isso dá , então .
Portanto os coeficientes determinados são
,
,
. Logo
Passo 8
A solução geral
da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea
e da particular
:
Substituindo as expressões obtidas:
com
constantes arbitrárias reais.
Se quiser, dá para checar rápido: as derivadas de
colocadas no lado esquerdo produzem exatamente
por conta do termo
que apareceu — isso foi checagem implícita no passo de igualar coeficientes.