Calcule as derivadas das seguintes funçōes:
f(x)=e^{\frac{3 x}{4-1} x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule as derivadas da(s) função(ões): f(x)=e^{\frac{3 x}{4-1} x^{4}}".
Informações dadas: a expressão do lado direito contém uma fração \frac{3x}{4-1} multiplicada por x^{4}. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do expoente, passo a passo. Calculo a diferença no denominador:
4-1=3.

Passo 3

Substituo esse valor na fração e escrevo o expoente como produto:
\frac{3x}{4-1}\,x^{4}=\frac{3x}{3}\,x^{4}.
Agora simplifico a fração \frac{3x}{3}. Como 3 divide 3x, fica:
\frac{3x}{3}=x.

Passo 4

Multiplico pelo restante x^{4}:
x\cdot x^{4}=x^{1+4}=x^{5}.
Portanto a função original simplifica para
f(x)=e^{x^{5}}.

Passo 5

Agora vamos derivar f(x)=e^{x^{5}}. Vou usar duas regras que são fundamentais e que explico em seguida:
  • Regra da cadeia para exponenciais: se f(x)=e^{u(x)}, então
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a “função interna” dentro do expoente.
  • Regra de potência (caso simples): se u(x)=x^{n} com n inteiro, então
u'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando isso a u(x)=x^{5} obtemos
u'(x)=5x^{4}.

Passo 6

Agora aplico a regra da cadeia com u(x)=x^{5}:
f'(x)=e^{x^{5}}\cdot 5x^{4}.
É costume escrever o fator numérico à frente:
f'(x)=5x^{4}e^{x^{5}}.

Passo 7

Pequena verificação numérica (pra ficar confiante): para x=1 temos f(x)=e^{1}=e e f'(1)=5\cdot1^{4}e^{1}=5e. Faz sentido que a derivada seja maior que o valor da função, porque o expoente cresce rapidamente.

Resposta

f'(x)=5x^{4}e^{x^{5}}

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