[4] Em certo município A, X: Número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer, tem distribuição de Poisson com média 3.5 por mês. (i) Escreva a tabela dos pares de pontos
e faça o gráfico da Distribuição de Probabilidade, para
casos; (ii) Determine os valores x 's mais prováveis e o valor x para o qual
é menor que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é o número mensal de novos casos diagnosticados e que
tem distribuição de Poisson com média
por mês. O que é pedido:
- (i) Escrever a tabela dos pares
para e “fazer o gráfico” da distribuição de probabilidade para esses . - (ii) Determinar os valores de
mais prováveis (modo da distribuição) e encontrar o menor tal que .
Informações relevantes dadas:
- Média (parâmetro) da Poisson:
. - Intervalo de
para a tabela e gráfico: .
Passo 2
Relembrando a fórmula da Poisson (aula rápida): a função massa de probabilidade (pmf) para
Poisson(
) é
Explicando os símbolos:
-
é a média (aqui ). -
é a base do logaritmo natural elevada a . -
é o fatorial de : e .
Calcular diretamente cadae funciona, mas há um jeito prático para cálculo manual: usar a relação recursiva
com
. Isso evita ficar calculando fatoriais grandes.
Passo 3
Vamos calcular
para
usando a recorrência com
.
Primeiro calcule
:
Usando a recorrência
obtemos:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora escrevo a tabela dos pares
arredondando para 6 casas decimais (usei arredondamento padrão):
Como verificação rápida, a soma das probabilidades de
a
dá aproximadamente
, ou seja, cobre quase toda a massa (restam probabilidades muito pequenas para
).
Sobre o gráfico (como fazer na prova ou no software): faça um histograma de barras (bar chart) com o eixo horizontal os inteiros
e eixo vertical os valores
acima. Cada barra de altura
(por exemplo, a barra em
terá altura
). Rotule os eixos: “
” e “
”. Isso ilustra a forma da distribuição (assimétrica à direita, pico perto de
).
Passo 4
Determinar os valores
mais prováveis (modo). Fato útil: para Poisson com parâmetro
não inteiro, o modo é
(a parte inteira de
). Aqui
então
. Confirmando numericamente:
é maior que
e maior que
. Logo o único valor mais provável é
.
Passo 5
Encontrar o menor
tal que
.
Observação:
. Então vamos calcular as somas acumuladas
até valores onde o complemento fique abaixo de
. Usando as probabilidades já calculadas, as somas parciais são:
Agora calcule
:
- Para
: (ainda maior que ). - Para
: (agora menor que ).
Portanto o menor inteiro
que satisfaz
é
.
Resposta
Tabela
para
:
Valor(es) de mais provável(s):
Menor tal que
:
Valor(es) de
Menor