[4] Em certo município A, X: Número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer, tem distribuição de Poisson com média 3.5 por mês. (i) Escreva a tabela dos pares de pontos (\mathrm{x}, \mathrm{p}(\mathrm{x})) e faça o gráfico da Distribuição de Probabilidade, para \mathrm{x}: 0,1, \ldots, 10 casos; (ii) Determine os valores x 's mais prováveis e o valor x para o qual \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq \mathrm{x}) é menor que 0.05(5 \%).

Passo 1

O enunciado dá que X é o número mensal de novos casos diagnosticados e que X tem distribuição de Poisson com média \lambda=3,5 por mês. O que é pedido:
  • (i) Escrever a tabela dos pares (x,p(x)) para x=0,1,\ldots,10 e “fazer o gráfico” da distribuição de probabilidade para esses x.
  • (ii) Determinar os valores de x mais prováveis (modo da distribuição) e encontrar o menor x tal que \mathrm{P}(X\ge x)<0,05.
Informações relevantes dadas:
  • Média (parâmetro) da Poisson: \lambda=3,5.
  • Intervalo de x para a tabela e gráfico: x=0,1,\ldots,10.

Passo 2

Relembrando a fórmula da Poisson (aula rápida): a função massa de probabilidade (pmf) para X\sim Poisson( \lambda) é
p(x)=\mathrm{P}(X=x)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{x}}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots
Explicando os símbolos:
  • \lambda é a média (aqui \lambda=3,5).
  • e^{-\lambda} é a base do logaritmo natural elevada a -\lambda.
  • x! é o fatorial de x: x!=x\cdot(x-1)\cdots1 e 0!=1.
    Calcular diretamente cada x! e \lambda^x funciona, mas há um jeito prático para cálculo manual: usar a relação recursiva
p(x)=p(x-1)\cdot\frac{\lambda}{x},
com p(0)=e^{-\lambda}. Isso evita ficar calculando fatoriais grandes.

Passo 3

Vamos calcular p(x) para x=0,1,\ldots,10 usando a recorrência com \lambda=3,5.
Primeiro calcule p(0):
p(0)=e^{-3,5}\approx 0,0301973834.
Usando a recorrência p(x)=p(x-1)\dfrac{3,5}{x} obtemos:
  • x=0:
p(0)=0,0301973834\quad(\text{aprox}.)
  • x=1:
p(1)=p(0)\cdot\frac{3,5}{1}=0,0301973834\cdot3,5\approx0,1056908410.
  • x=2:
p(2)=p(1)\cdot\frac{3,5}{2}\approx0,1056908410\cdot1,75\approx0,1849589425.
  • x=3:
p(3)=p(2)\cdot\frac{3,5}{3}\approx0,1849589425\cdot1,1666667\approx0,2157811004.
  • x=4:
p(4)=p(3)\cdot\frac{3,5}{4}\approx0,2157811004\cdot0,875\approx0,1888084879.
  • x=5:
p(5)=p(4)\cdot\frac{3,5}{5}\approx0,1888084879\cdot0,7\approx0,1321659405.
  • x=6:
p(6)=p(5)\cdot\frac{3,5}{6}\approx0,1321659405\cdot0,5833333\approx0,0771027953.
  • x=7:
p(7)=p(6)\cdot\frac{3,5}{7}\approx0,0771027953\cdot0,5\approx0,0385513976.
  • x=8:
p(8)=p(7)\cdot\frac{3,5}{8}\approx0,0385513976\cdot0,4375\approx0,0168528595.
  • x=9:
p(9)=p(8)\cdot\frac{3,5}{9}\approx0,0168528595\cdot0,3888889\approx0,0065547998.
  • x=10:
p(10)=p(9)\cdot\frac{3,5}{10}\approx0,0065547998\cdot0,35\approx0,0022941799.
Agora escrevo a tabela dos pares (x,p(x)) arredondando para 6 casas decimais (usei arredondamento padrão):
  • (0,\;0,030197)
  • (1,\;0,105691)
  • (2,\;0,184959)
  • (3,\;0,215781)
  • (4,\;0,188808)
  • (5,\;0,132166)
  • (6,\;0,077103)
  • (7,\;0,038551)
  • (8,\;0,016853)
  • (9,\;0,006555)
  • (10,\;0,002294)
Como verificação rápida, a soma das probabilidades de x=0 a 10 dá aproximadamente 0,998959, ou seja, cobre quase toda a massa (restam probabilidades muito pequenas para x>10).
Sobre o gráfico (como fazer na prova ou no software): faça um histograma de barras (bar chart) com o eixo horizontal os inteiros x=0,1,\dots,10 e eixo vertical os valores p(x) acima. Cada barra de altura p(x) (por exemplo, a barra em x=3 terá altura \approx0,216). Rotule os eixos: “ x” e “ \mathrm{P}(X=x)”. Isso ilustra a forma da distribuição (assimétrica à direita, pico perto de 3).

Passo 4

Determinar os valores x mais prováveis (modo). Fato útil: para Poisson com parâmetro \lambda não inteiro, o modo é \lfloor\lambda\rfloor (a parte inteira de \lambda). Aqui \lambda=3,5 então \lfloor3,5\rfloor=3. Confirmando numericamente: p(3)\approx0,215781 é maior que p(2)\approx0,184959 e maior que p(4)\approx0,188808. Logo o único valor mais provável é x=3.

Passo 5

Encontrar o menor x tal que \mathrm{P}(X\ge x)<0,05.
Observação: \mathrm{P}(X\ge x)=1-\mathrm{P}(X\le x-1). Então vamos calcular as somas acumuladas F(k)=\mathrm{P}(X\le k) até valores onde o complemento fique abaixo de 0,05. Usando as probabilidades já calculadas, as somas parciais são:
  • F(0)=\mathrm{P}(X\le0)=0,030197
  • F(1)=0,135888
  • F(2)=0,320847
  • F(3)=0,536628
  • F(4)=0,725437
  • F(5)=0,857603
  • F(6)=0,934705
  • F(7)=0,973257
  • F(8)=0,990110
Agora calcule \mathrm{P}(X\ge x)=1-F(x-1):
  • Para x=7: \mathrm{P}(X\ge7)=1-F(6)=1-0,934705\approx0,065295 (ainda maior que 0,05).
  • Para x=8: \mathrm{P}(X\ge8)=1-F(7)=1-0,973257\approx0,026743 (agora menor que 0,05).
Portanto o menor inteiro x que satisfaz \mathrm{P}(X\ge x)<0,05 é x=8.

Resposta

Tabela (x,p(x)) para x=0,\ldots,10: (0,\,0,030197),\\ (1,\,0,105691),\\ (2,\,0,184959),\\ (3,\,0,215781),\\ (4,\,0,188808),\\ (5,\,0,132166),\\ (6,\,0,077103),\\ (7,\,0,038551),\\ (8,\,0,016853),\\ (9,\,0,006555),\\ (10,\,0,002294)
Valor(es) de x mais provável(s): 3
Menor x tal que \mathrm{P}(X\ge x)<0,05: 8

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