[1] Em certa população 70% das pessoas têm cabelo escuro, 60% têm olhos escuros e
têm cabelo e olhos escuros. Calcule a probabilidade (proporção) de: (i) pessoas com olhos escuros, dentre as que têm cabelos escuros: (ii) pessoas com cabelos escuros, dentre as que têm olhos escuros; (iii) pessoas que não têm nem cabelos, nem olhos escuros.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou escrevê-las como probabilidades, que na prática são proporções da população):
-
. -
. -
.
O que o problema pede:
(i) a probabilidade de ter olhos escuros dentre as pessoas que têm cabelo escuro (isto é, );
(ii) a probabilidade de ter cabelo escuro dentre as pessoas que têm olhos escuros (isto é, );
(iii) a proporção de pessoas que não têm nem cabelo escuro nem olhos escuros (a probabilidade de “nenhum dos dois”).
(i) a probabilidade de ter olhos escuros dentre as pessoas que têm cabelo escuro (isto é,
(ii) a probabilidade de ter cabelo escuro dentre as pessoas que têm olhos escuros (isto é,
(iii) a proporção de pessoas que não têm nem cabelo escuro nem olhos escuros (a probabilidade de “nenhum dos dois”).
Passo 2
Entendendo e aplicando a definição de probabilidade condicional (parte (i)).
Definição: a probabilidade condicional de um evento dado
é
Definição: a probabilidade condicional de um evento
desde que
. Aqui, para (i) usamos
“olhos escuros” e
“cabelo escuro”. As variáveis significam:
-
é a probabilidade de ambos ocorrerem (dados do enunciado). -
é a probabilidade do evento condicionante (cabelo escuro).
Aplicando com os números que temos:
Uma forma concreta de visualizar: imagine 100 pessoas. São
com cabelo escuro e, dentre elas,
têm também olhos escuros; então a fração é
, que é a mesma coisa que
.
Passo 3
Calcule e simplifique o resultado do passo anterior.
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Portanto a resposta numérica para (i) é
(ou cerca de
).
Passo 4
Agora parte (ii): usar a mesma fórmula de probabilidade condicional, trocando os papéis. Queremos
Intuição com 100 pessoas: há
com olhos escuros e, desses,
também têm cabelo escuro, então a fração é
.
Passo 5
Calcule e simplifique o resultado do passo anterior.
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Portanto a resposta numérica para (ii) é
(ou cerca de
).
Passo 6
Parte (iii): probabilidade de não ter nem cabelo escuro nem olhos escuros. Aqui usamos a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
onde
= “cabelo escuro” e
= “olhos escuros”. A probabilidade de “pelo menos um dos dois” é
. Então a probabilidade de “nenhum dos dois” é o complemento:
Passo 7
Calcule
com os números dados:
Logo
Em porcentagem isso é
. Intuição com 100 pessoas:
têm cabelo escuro,
têm olhos escuros, mas
estão em ambas as categorias, então o total com pelo menos um dos traços é
; restam
que não têm nem um nem outro.
Resposta
(i)
(
)
(ii) (
)
(iii) (
)
(ii)
(iii)