[1] Em certa população 70% das pessoas têm cabelo escuro, 60% têm olhos escuros e 40 \% têm cabelo e olhos escuros. Calcule a probabilidade (proporção) de: (i) pessoas com olhos escuros, dentre as que têm cabelos escuros: (ii) pessoas com cabelos escuros, dentre as que têm olhos escuros; (iii) pessoas que não têm nem cabelos, nem olhos escuros.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou escrevê-las como probabilidades, que na prática são proporções da população):
  • P(\text{cabelo escuro}) = 0,7.
  • P(\text{olhos escuros}) = 0,6.
  • P(\text{cabelo escuro e olhos escuros}) = 0,4.
O que o problema pede:
(i) a probabilidade de ter olhos escuros dentre as pessoas que têm cabelo escuro (isto é, P(\text{olhos escuros}\mid\text{cabelo escuro}));
(ii) a probabilidade de ter cabelo escuro dentre as pessoas que têm olhos escuros (isto é, P(\text{cabelo escuro}\mid\text{olhos escuros}));
(iii) a proporção de pessoas que não têm nem cabelo escuro nem olhos escuros (a probabilidade de “nenhum dos dois”).

Passo 2

Entendendo e aplicando a definição de probabilidade condicional (parte (i)).
Definição: a probabilidade condicional de um evento A dado B é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Aqui, para (i) usamos A= “olhos escuros” e B= “cabelo escuro”. As variáveis significam:
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ambos ocorrerem (dados do enunciado).
  • P(B) é a probabilidade do evento condicionante (cabelo escuro).
Aplicando com os números que temos:
P(\text{olhos escuros}\mid\text{cabelo escuro}) = \frac{P(\text{olhos escuros}\cap\text{cabelo escuro})}{P(\text{cabelo escuro})} = \frac{0,4}{0,7}.
Uma forma concreta de visualizar: imagine 100 pessoas. São 70 com cabelo escuro e, dentre elas, 40 têm também olhos escuros; então a fração é 40/70, que é a mesma coisa que \dfrac{0,4}{0,7}.

Passo 3

Calcule e simplifique o resultado do passo anterior.
\frac{0,4}{0,7}=\frac{4}{7}\approx 0,571428\ldots
Em porcentagem isso é aproximadamente 57,14\%. Portanto a resposta numérica para (i) é \dfrac{4}{7} (ou cerca de 0,5714).

Passo 4

Agora parte (ii): usar a mesma fórmula de probabilidade condicional, trocando os papéis. Queremos
P(\text{cabelo escuro}\mid\text{olhos escuros}) = \frac{P(\text{cabelo escuro}\cap\text{olhos escuros})}{P(\text{olhos escuros})} = \frac{0,4}{0,6}.
Intuição com 100 pessoas: há 60 com olhos escuros e, desses, 40 também têm cabelo escuro, então a fração é 40/60.

Passo 5

Calcule e simplifique o resultado do passo anterior.
\frac{0,4}{0,6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,666666\ldots
Em porcentagem isso é aproximadamente 66,67\%. Portanto a resposta numérica para (ii) é \dfrac{2}{3} (ou cerca de 0,6667).

Passo 6

Parte (iii): probabilidade de não ter nem cabelo escuro nem olhos escuros. Aqui usamos a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
P(C\cup E)=P\text{(C)}+P(E)-P(C\cap E),
onde C = “cabelo escuro” e E = “olhos escuros”. A probabilidade de “pelo menos um dos dois” é P(C\cup E). Então a probabilidade de “nenhum dos dois” é o complemento:
P(\text{nenhum dos dois}) = 1 - P(C\cup E).

Passo 7

Calcule P(C\cup E) com os números dados:
P(C\cup E)=0,7+0,6-0,4=0,9.
Logo
P(\text{nenhum dos dois})=1-0,9=0,1.
Em porcentagem isso é 10\%. Intuição com 100 pessoas: 70 têm cabelo escuro, 60 têm olhos escuros, mas 40 estão em ambas as categorias, então o total com pelo menos um dos traços é 70+60-40=90; restam 10 que não têm nem um nem outro.

Resposta

(i) \dfrac{4}{7}\approx0,5714 ( 57{,}14\%)
(ii) \dfrac{2}{3}\approx0,6667 ( 66{,}67\%)
(iii) 0,1 ( 10\%)

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