As medidas de pressão sanguínea sistólica (PSS) de um indivíduo seguem distribuição normal, com média 135 mmHg e desvio padrão 10 mmHg . As medidas de pressão sanguínea diastólica (PSD) do mesmo indivíduo seguem distribuição normal, com média 84 mmHg e desvio padrão 8 mmHg . Faca os gráficos e calcule as probabilidades do indivíduo apresentar
90<\mathrm{PSD}<99 e 140<\mathrm{PSS}<159

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis (peguei estes valores do enunciado):
  • Pressão sanguínea diastólica (PSD): segue distribuição normal com média \mu_{\text{PSD}}=84 mmHg e desvio padrão \sigma_{\text{PSD}}=8 mmHg.
  • Pressão sanguínea sistólica (PSS): segue distribuição normal com média \mu_{\text{PSS}}=135 mmHg e desvio padrão \sigma_{\text{PSS}}=10 mmHg.
As perguntas são:
  1. Calcular a probabilidade de \;90<\mathrm{PSD}<99.\n
  2. Calcular a probabilidade de \;140<\mathrm{PSS}<159.\n
Também foi pedido para “fazer os gráficos”: vou explicar como desenhar cada curva normal e indicar as regiões que devem ser sombreadas (instruções passo a passo para esboçar na prova).

Passo 2

Noções básicas (mini-aula): a distribuição normal
  • Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma quando escrevemos \;X\sim N(\mu,\sigma).
  • O gráfico é a clássica “curva de sino” centrada em \mu e com “largura” controlada por \sigma: quanto maior \sigma, mais espalhada a curva.
  • Para calcular probabilidades do tipo \;a<X<b usamos a padronização para transformar qualquer normal numa normal padrão Z\sim N(0,1) (média zero e desvio padrão 1). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui X é a variável original, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Depois encontramos \Phi(z)=P(Z\le z) em tabela da normal padrão ou em calculadora.
Exemplo rápido de uso: para calcular P(a<X<b) fazemos
P(a<X<b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).

Passo 3

Cálculo de \;P(90<\mathrm{PSD}<99).
  1. Padronizar os extremos usando \mu_{\text{PSD}}=84 e \sigma_{\text{PSD}}=8:
z_1=\frac{90-84}{8}=\frac{6}{8}=0{,}75, \qquad z_2=\frac{99-84}{8}=\frac{15}{8}=1{,}875.
  1. Interpretam-se como probabilidades da normal padrão:
P(90<\mathrm{PSD}<99)=P(0{,}75<Z<1{,}875)=\Phi(1{,}875)-\Phi(0{,}75).
  1. Ler/usar valores da função de distribuição \Phi (tabela ou calculadora). Valores típicos:
\Phi(0{,}75)\approx0{,}7734,\qquad \Phi(1{,}875)\approx0{,}9696.
(Obs.: o valor de \Phi(1{,}875) pode ser obtido interpolando entre as entradas da tabela para 1{,}87 e 1{,}88, ou usando calculadora; usei aproximação por interpolação.)
  1. Subtrair:
P(90<\mathrm{PSD}<99)\approx0{,}9696-0{,}7734=0{,}1962.
  1. Interpretação: isso significa cerca de 19{,}62\% de chance do indivíduo ter PSD entre 90 e 99 mmHg.
Como esboçar o gráfico (passo a passo para prova):
  • Desenhe uma curva de sino centrada em 84 no eixo horizontal.
  • Marque os pontos x=90 e x=99.
  • Sombree a região entre 90 e 99.
  • Opcional: escreva abaixo os z-valores correspondentes z=0{,}75 e z=1{,}875 para lembrar a padronização.

Passo 4

Cálculo de \;P(140<\mathrm{PSS}<159).
  1. Padronizar usando \mu_{\text{PSS}}=135 e \sigma_{\text{PSS}}=10:
z_1=\frac{140-135}{10}=0{,}5, \qquad z_2=\frac{159-135}{10}=\frac{24}{10}=2{,}4.
  1. Converter para probabilidades da normal padrão:
P(140<\mathrm{PSS}<159)=P(0{,}5<Z<2{,}4)=\Phi(2{,}4)-\Phi(0{,}5).
  1. Valores da tabela/ calculadora:
\Phi(0{,}5)\approx0{,}6915,\qquad \Phi(2{,}4)\approx0{,}9918.
  1. Subtrair:
P(140<\mathrm{PSS}<159)\approx0{,}9918-0{,}6915=0{,}3003.
  1. Interpretação: isso significa cerca de 30{,}03\% de chance do indivíduo ter PSS entre 140 e 159 mmHg.
Como esboçar o gráfico (passo a passo para prova):
  • Desenhe a curva de sino centrada em 135.
  • Marque x=140 e x=159 e sombreie a região entre eles.
  • Anote os z-valores z=0{,}5 e z=2{,}4 para mostrar a padronização.

Passo 5

Checagens e dicas rápidas para a prova
  • Sempre padronize; isso reduz todo problema a olhar na tabela da normal padrão.
  • Se a tabela der \Phi só para duas casas decimais de z, faça interpolação linear se necessário (como fiz para 1{,}875).
  • Arredonde as respostas razoavelmente (duas casas decimais percentuais é suficiente).
  • Se estiver sem tabela, use aproximações rápidas: \Phi(0{,}5)\approx0{,}69, \Phi(1{,}9)\approx0{,}9713, \Phi(2{,}4)\approx0{,}9918.
Força aí — você já sabe o procedimento exato para qualquer intervalo com normal: padroniza, consulta \Phi, subtrai. Vai dar certo na prova!

Resposta

P(90<\mathrm{PSD}<99)\approx0{,}1962 (ou 19{,}62\%)
P(140<\mathrm{PSS}<159)\approx0{,}3003 (ou 30{,}03\%)

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