[2] Um casal é portador de uma certa doença. A probabilidade de cada filho nascer com essa doença é 0.20. O casal pensa em ter cinco filhos. (A) Calcule e faca o gráfico da Distribuição de Probabilidade do Número de filhos que possam nascer com a doença: (B) Calcule as probabilidades de ter: (i) no maximo um filho com a doença: (ii) mais filhos com a doença do que os esperados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente o que é pedido para a gente não se perder):
- Informação: o casal quer ter cinco filhos.
- Informação: a probabilidade de cada filho nascer com a doença é
. - Pergunta (A): calcular e fazer o gráfico da distribuição de probabilidade do número de filhos que nasçam com a doença (ou seja, a distribuição do número de filhos doentes entre os cinco).
- Pergunta (B)(i): calcular a probabilidade de ter, no máximo, um filho com a doença.
- Pergunta (B)(ii): calcular a probabilidade de ter mais filhos com a doença do que os esperados.
Dados relevantes que vamos usar (pegos do enunciado):
- Número de ensaios:
. - Probabilidade de “sucesso” (um filho doente) em cada ensaio:
. - Complemento:
.
Passo 2
Escolhendo o método e explicando a fórmula que vamos usar.
Por que usar a distribuição binomial? Porque temos:
- um número fixo de tentativas
(cada filho é uma tentativa), - cada tentativa tem só dois resultados relevantes (doente / não doente),
- as tentativas são independentes (assumimos que a doença de um filho não altera a probabilidade dos outros),
- a probabilidade de “sucesso” é constante
.
A distribuição apropriada é a binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente
filhos doentes é:
onde:
-
é a variável aleatória “número de filhos doentes” (inteiros de a ); -
é o número de combinações de itens tomados a , e é dado por
com
(fatorial) sendo
e
.
Aqui
e
. Vou calcular
para cada
. Vou mostrar como calcular as combinações relevantes
e as potências de
e
.
Passo 3
Cálculo das combinações e das potências básicas (para facilitar as contas):
-
(por exemplo.) -
Potências de
: -
Potências de
:
Passo 4
Calcular
para cada
usando a fórmula
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Verificação rápida (soma das probabilidades = 1):
Passo 5
Como “fazer o gráfico da distribuição” (instruções práticas passo a passo para prova ou para fazer no computador/à mão):
- O gráfico é um histograma de barras (gráfico de probabilidade) com eixo horizontal os valores de
e eixo vertical as probabilidades . - Para cada
desenhe uma barra com altura igual à respectiva probabilidade: -
: altura -
: altura -
: altura -
: altura -
: altura -
: altura
-
- Dica para desenhar à mão: escolha uma escala no eixo vertical (por exemplo,
de probabilidade) e desenhe as barras com a largura constante e altura proporcional; rotule cada barra com o valor numérico da probabilidade para conferência. - Em software (Excel, Python/matplotlib, R) faça um gráfico de barras usando os pares
.
Passo 6
Parte (B)(i): probabilidade de ter no máximo um filho com a doença.
“No máximo um” significa
. Então:
Usando os valores calculados:
Interpretação: há cerca de
de chance de terem zero ou um filho doente.
Passo 7
Parte (B)(ii): probabilidade de ter mais filhos com a doença do que os esperados.
Primeiro calcule o valor esperado (média) da distribuição binomial. Para
Binomial
, vale a fórmula:
Aqui:
“Mais filhos com a doença do que os esperados” significa ter
. Como
(um valor inteiro), isso é
, ou seja
.
Calculamos então
Como checagem, somando
, bate certinho.
Resposta
Distribuição:
(i)
(ii)