[2] Um casal é portador de uma certa doença. A probabilidade de cada filho nascer com essa doença é 0.20. O casal pensa em ter cinco filhos. (A) Calcule e faca o gráfico da Distribuição de Probabilidade do Número de filhos que possam nascer com a doença: (B) Calcule as probabilidades de ter: (i) no maximo um filho com a doença: (ii) mais filhos com a doença do que os esperados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente o que é pedido para a gente não se perder):
  • Informação: o casal quer ter cinco filhos.
  • Informação: a probabilidade de cada filho nascer com a doença é \,0,20\,.
  • Pergunta (A): calcular e fazer o gráfico da distribuição de probabilidade do número de filhos que nasçam com a doença (ou seja, a distribuição do número de filhos doentes entre os cinco).
  • Pergunta (B)(i): calcular a probabilidade de ter, no máximo, um filho com a doença.
  • Pergunta (B)(ii): calcular a probabilidade de ter mais filhos com a doença do que os esperados.
Dados relevantes que vamos usar (pegos do enunciado):
  • Número de ensaios: n=5.
  • Probabilidade de “sucesso” (um filho doente) em cada ensaio: p=0,20.
  • Complemento: 1-p=0,80.

Passo 2

Escolhendo o método e explicando a fórmula que vamos usar.
Por que usar a distribuição binomial? Porque temos:
  • um número fixo de tentativas n=5 (cada filho é uma tentativa),
  • cada tentativa tem só dois resultados relevantes (doente / não doente),
  • as tentativas são independentes (assumimos que a doença de um filho não altera a probabilidade dos outros),
  • a probabilidade de “sucesso” é constante p=0,20.
A distribuição apropriada é a binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente k filhos doentes é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • X é a variável aleatória “número de filhos doentes” (inteiros de 0 a n);
  • \binom{n}{k} é o número de combinações de n itens tomados k a k, e é dado por
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
com m! (fatorial) sendo m!=m\times(m-1)\times\cdots\times1 e 0!=1.
Aqui n=5 e p=0,20. Vou calcular P(X=k) para cada k=0,1,2,3,4,5. Vou mostrar como calcular as combinações relevantes \binom{5}{k} e as potências de p e 1-p.

Passo 3

Cálculo das combinações e das potências básicas (para facilitar as contas):
  • \binom{5}{0}=1,\quad \binom{5}{1}=5,\quad \binom{5}{2}=10,\quad \binom{5}{3}=10,\quad \binom{5}{4}=5,\quad \binom{5}{5}=1.
    (por exemplo \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!3!}=\dfrac{120}{2\cdot6}=10.)
  • Potências de p=0,20:
    p^{1}=0,20,\quad p^{2}=0,04,\quad p^{3}=0,008,\quad p^{4}=0,0016,\quad p^{5}=0,00032.
  • Potências de 1-p=0,80:
    0,8^{1}=0,8,\quad 0,8^{2}=0,64,\quad 0,8^{3}=0,512,\quad 0,8^{4}=0,4096,\quad 0,8^{5}=0,32768.

Passo 4

Calcular P(X=k) para cada k usando a fórmula \;P(X=k)=\binom{5}{k}p^{k}(1-p)^{5-k}.
  • Para k=0:
    P(X=0)=\binom{5}{0}(0,20)^{0}(0,80)^{5}=1\cdot1\cdot0,8^{5}=0,32768.
  • Para k=1:
    P(X=1)=\binom{5}{1}(0,20)^{1}(0,80)^{4}=5\cdot0,20\cdot0,4096=0,4096.
  • Para k=2:
    P(X=2)=\binom{5}{2}(0,20)^{2}(0,80)^{3}=10\cdot0,04\cdot0,512=0,2048.
  • Para k=3:
    P(X=3)=\binom{5}{3}(0,20)^{3}(0,80)^{2}=10\cdot0,008\cdot0,64=0,0512.
  • Para k=4:
    P(X=4)=\binom{5}{4}(0,20)^{4}(0,80)^{1}=5\cdot0,0016\cdot0,8=0,0064.
  • Para k=5:
    P(X=5)=\binom{5}{5}(0,20)^{5}(0,80)^{0}=1\cdot0,00032\cdot1=0,00032.
Verificação rápida (soma das probabilidades = 1):
0,32768+0,4096+0,2048+0,0512+0,0064+0,00032=1,0.

Passo 5

Como “fazer o gráfico da distribuição” (instruções práticas passo a passo para prova ou para fazer no computador/à mão):
  • O gráfico é um histograma de barras (gráfico de probabilidade) com eixo horizontal os valores de k\in\{0,1,2,3,4,5\} e eixo vertical as probabilidades P(X=k).
  • Para cada k desenhe uma barra com altura igual à respectiva probabilidade:
    • k=0: altura 0,32768
    • k=1: altura 0,4096
    • k=2: altura 0,2048
    • k=3: altura 0,0512
    • k=4: altura 0,0064
    • k=5: altura 0,00032
  • Dica para desenhar à mão: escolha uma escala no eixo vertical (por exemplo, 1\,\text{cm} \leftrightarrow 0,05 de probabilidade) e desenhe as barras com a largura constante e altura proporcional; rotule cada barra com o valor numérico da probabilidade para conferência.
  • Em software (Excel, Python/matplotlib, R) faça um gráfico de barras usando os pares (k,P(X=k)).

Passo 6

Parte (B)(i): probabilidade de ter no máximo um filho com a doença.
“No máximo um” significa X\le1. Então:
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).
Usando os valores calculados:
P(X\le1)=0,32768+0,4096=0,73728.
Interpretação: há cerca de 73,728\% de chance de terem zero ou um filho doente.

Passo 7

Parte (B)(ii): probabilidade de ter mais filhos com a doença do que os esperados.
Primeiro calcule o valor esperado (média) da distribuição binomial. Para X\sim Binomial (n,p), vale a fórmula:
\mathbb{E}[X]=n p.
Aqui:
\mathbb{E}[X]=5\cdot0,20=1.
“Mais filhos com a doença do que os esperados” significa ter X>\mathbb{E}[X]. Como \mathbb{E}[X]=1 (um valor inteiro), isso é X>1, ou seja X\in\{2,3,4,5\}.
Calculamos então
P(X>1)=1-P(X\le1)=1-0,73728=0,26272.
Como checagem, somando P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0,2048+0,0512+0,0064+0,00032=0,26272, bate certinho.

Resposta

Distribuição: P(X=0)=0,32768,\;P(X=1)=0,4096,\;P(X=2)=0,2048,\;P(X=3)=0,0512,\;P(X=4)=0,0064,\;P(X=5)=0,00032
(i) P(X\le1)=0,73728
(ii) P(X>\mathbb{E}[X])=P(X>1)=0,26272

Exercícios relacionados