5á) Determine pelo menos uma transformação linear T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{4}\right) tal que
T\left(\mathbb{R}^{3}\right)=[(2,2,3,2),(3,2,0,2)]

Passo 1

O enunciado pede que encontremos uma transformação linear \displaystyle T\in\mathcal{L}\bigl(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{4}\bigr)
cujo espaço-imagem seja
T\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr) =\mathrm{span}\bigl\{(2,2,3,2),\,(3,2,0,2)\bigr\}.
Para isso, basta definir T em uma base de \mathbb{R}^3 de modo que as imagens gerem exatamente esse subespaço.

Passo 2

Seja \{e_{1},e_{2},e_{3}\} a base canônica de \mathbb{R}^{3}. Note que
T\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr) =\mathrm{span}\bigl\{T(e_{1}),\,T(e_{2}),\,T(e_{3})\bigr\}.
Para obter exatamente \mathrm{span}\{(2,2,3,2),(3,2,0,2)\}, podemos escolher
T(e_{1})=(2,2,3,2), \quad T(e_{2})=(3,2,0,2), \quad T(e_{3})=(0,0,0,0).

Passo 3

Dados (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, escrevendo-o na base \{e_{1},e_{2},e_{3}\} como (x,y,z)=x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3}, temos por linearidade
T(x,y,z) = x\,T(e_{1}) + y\,T(e_{2}) + z\,T(e_{3}) = x\,(2,2,3,2) + y\,(3,2,0,2) + z\,(0,0,0,0).
Portanto,
T(x,y,z) =(2x+3y,\;2x+2y,\;3x,\;2x+2y).

Resposta

Uma transformação que satisfaz o enunciado é
T(x,y,z) =(2x+3y,\;2x+2y,\;3x,\;2x+2y),
pois T(\mathbb{R}^{3})=\mathrm{span}\{(2,2,3,2),(3,2,0,2)\}.

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