Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede explicitamente as derivadas parciais de
com respeito a
e com respeito a
.
Informações relevantes que o problema fornece:
Informações relevantes que o problema fornece:
- A expressão interna do argumento da tangente é
. - Deve-se tratar
e como variáveis independentes ao calcular derivadas parciais (ou seja, ao derivar em relação a mantém‑se constante, e vice‑versa).
Passo 2
Entendendo a ferramenta principal: regra da cadeia para funções compostas.
Se tivermos uma função composta do tipo , então as derivadas parciais são dadas por
Se tivermos uma função composta do tipo
Aqui
é a derivada de
em relação ao seu argumento
, e
,
são as derivadas parciais da função interna
. Vou aplicar isso com
e
.
Passo 3
Derivada da função exterior
.
A derivada de em relação a
é
A derivada de
onde
. Outra forma equivalente e útil é
Portanto, ao aplicar a regra da cadeia usaremos
.
Passo 4
Identificar a função interna e suas derivadas parciais.
Defina
Defina
Agora calcule as derivadas parciais de
:
pois
é tratado como constante ao derivar em relação a
; e
pois
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando com
e
, temos
Usando
Se preferir escrever em termos de
, pode também ser
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Usando com
e
, temos
Usando
Forma alternativa em termos de
: