Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
\quad F(x, y)=\operatorname{tg}(2 y-5 x)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
F(x,y)=\tan(2y-5x)
e pede explicitamente as derivadas parciais de F com respeito a x e com respeito a y.
Informações relevantes que o problema fornece:
  • A expressão interna do argumento da tangente é 2y-5x.
  • Deve-se tratar \,x e \,y como variáveis independentes ao calcular derivadas parciais (ou seja, ao derivar em relação a x mantém‑se y constante, e vice‑versa).

Passo 2

Entendendo a ferramenta principal: regra da cadeia para funções compostas.
Se tivermos uma função composta do tipo F(x,y)=f(u(x,y)), então as derivadas parciais são dadas por
\frac{\partial F}{\partial x}=f'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=f'\big(u(x,y)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui f'(u) é a derivada de f em relação ao seu argumento u, e \partial u/\partial x, \partial u/\partial y são as derivadas parciais da função interna u(x,y). Vou aplicar isso com f=\tan e u(x,y)=2y-5x.

Passo 3

Derivada da função exterior f(u)=\tan(u).
A derivada de \tan(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u),
onde \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}. Outra forma equivalente e útil é
\operatorname{sec}^2(u)=1+\tan^2(u).
Portanto, ao aplicar a regra da cadeia usaremos f'(u)=\operatorname{sec}^2(u).

Passo 4

Identificar a função interna e suas derivadas parciais.
Defina
u(x,y)=2y-5x.
Agora calcule as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-5x)=-5,
pois y é tratado como constante ao derivar em relação a x; e
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-5x)=2,
pois x é tratado como constante ao derivar em relação a y.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \partial F/\partial x.
Usando \dfrac{\partial F}{\partial x}=f'(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x} com f'(u)=\operatorname{sec}^2(u) e \dfrac{\partial u}{\partial x}=-5, temos
\frac{\partial F}{\partial x}=-5\operatorname{sec}^2\big(2y-5x\big).
Se preferir escrever em termos de \tan, pode também ser
\frac{\partial F}{\partial x}=-5\big(1+\tan^2(2y-5x)\big).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para obter \partial F/\partial y.
Usando \dfrac{\partial F}{\partial y}=f'(u)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial y} com f'(u)=\operatorname{sec}^2(u) e \dfrac{\partial u}{\partial y}=2, temos
\frac{\partial F}{\partial y}=2\operatorname{sec}^2\big(2y-5x\big).
Forma alternativa em termos de \tan:
\frac{\partial F}{\partial y}=2\big(1+\tan^2(2y-5x)\big).

Resposta

\frac{\partial F}{\partial x}=-5\operatorname{sec}^2\big(2y-5x\big)
\frac{\partial F}{\partial y}=2\operatorname{sec}^2\big(2y-5x\big)

Exercícios relacionados