[4] (1,0 ponto) Represente a função abaixo como soma de uma série de potência e determine o intervalo de convergência
O pulso tringular unitário \Lambda(t) é definida por \Lambda(t)=\left\{\begin{array}{cc}0, & t<0 \\\ 2 t, & 0<t<1 / 2 \\\ 2-2 t, & 1 / 2<t<1, \\\ 0, & t>1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) representar a função pulso triangular unitário [\Lambda(t)) como soma de uma série de potência; (ii) determinar o intervalo (ou intervalos) de convergência dessa(s) série(s).
As informações dadas (peguei do enunciado) são a definição por partes de \Lambda(t):
\Lambda(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 2t, & 0<t<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 2-2t, & \tfrac{1}{2}<t<1,\\[4pt] 0, & t>1. \end{cases}
(Os valores nos pontos t=0,\tfrac12,1\] não mudam a ideia principal; tipicamente define-se \(\Lambda(0)=\Lambda(1)=0 e \Lambda(\tfrac12)=1.)
Resumo do que preciso dar: escrever \Lambda(t) como séries de potência (ou como polinômios escritos como séries) em cada região onde a função é dada por uma expressão polinomial, e dizer onde essas séries convergem.]

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático).
  • Uma série de potência centrada em t_0 tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (t-t_0)^n.
Ela converge para um raio R em torno de t_0; ou seja, converge para |t-t_0|<R. Um polinômio de grau finito é um caso especial de série de potência em que somente finitos coeficientes a_n são não nulos; esse polinômio converge para todo t (raio de convergência infinito).
  • Para representar uma função por UMA única série de potência em uma vizinhança é preciso que a função seja analítica nessa vizinhança (tem derivadas de todas as ordens e coincide com sua série de Taylor). Se a função tem “cantos” (não é diferenciável) em um ponto, não existe uma série de potência que represente a função em uma vizinhança que inclua esse ponto.
  • No nosso caso \Lambda(t) é definida por trechos polinomiais lineares (grau 1) em três intervalos contíguos (( -\infty,0), (0,\tfrac12), (\tfrac12,1), (1,\infty)). Cada trecho polinomial pode ser escrito imediatamente como uma série de potência (com poucos coeficientes não nulos). Porém NÃO existe uma única série de potência que represente \Lambda(t) em qualquer intervalo que contenha os pontos onde a derivada tem salto (por exemplo em t=0 e em t=\tfrac12 e t=1). Portanto trataremos as séries por trechos.

Passo 3

Representação por trechos — escrever explicitamente as séries de potência (aqui tomo séries centradas em t_0=0, i.e. séries em potências de t; isso é o mais simples e direto).
  • Para t<0 (e também para t>1), \Lambda(t)=0. A série de potência que representa a função zero é simplesmente
\sum_{n=0}^{\infty} 0\cdot t^n \equiv 0.
Essa série converge para todo t (raio de convergência infinito), e representa \Lambda(t) nas regiões onde \Lambda(t)=0.
  • Para 0<t<\tfrac12, \Lambda(t)=2t. Um polinômio de grau 1 já é uma série de potência (com apenas dois coeficientes possivelmente não nulos). Escrevendo explicitamente como série em potências de t:
\Lambda(t)=2t=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n,
com
a_0=0,\qquad a_1=2,\qquad a_n=0\\ \text{para }n\ge 2.
Essa série (que é só o polinômio 2t) converge para todo t (raio de convergência infinito). Porém ela representa a função \Lambda(t) apenas no intervalo onde a função realmente vale 2t, isto é para 0<t<\tfrac12.
  • Para \tfrac12<t<1, \Lambda(t)=2-2t. Novamente é um polinômio de grau 1, logo sua escrita como série de potência em torno de 0 é
\Lambda(t)=2-2t=\sum_{n=0}^{\infty} b_n t^n,
com
b_0=2,\qquad b_1=-2,\qquad b_n=0\\ \text{para }n\ge 2.
Essa série também converge para todo t (raio de convergência infinito), e representa \Lambda(t) na região \tfrac12<t<1.
Observação didática: essas três séries são polinômios e, matematicamente, cada uma tem raio de convergência infinito. O ponto crucial é que cada série representa \Lambda(t) somente no trecho correspondente da definição por partes; não existe uma única expansão em torno de t_0=0 (ou outro centro) que coincida com \Lambda(t) em um intervalo que atravesse um ponto de não-diferenciabilidade (por exemplo atravessar t=\tfrac12 onde a derivada muda de +2 para -2).

Passo 4

Conclusão, escrita final compacta e interpretação do intervalo de convergência:
Escrevendo as três séries explicitamente (todas centradas em 0):
  • Para t<0 e para t>1:
\Lambda(t)=0=\sum_{n=0}^{\infty} 0\cdot t^n.
  • Para 0<t<\tfrac12:
\Lambda(t)=2t=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n,\quad a_0=0,\\ a_1=2,\\ a_n=0\\ (n\ge2).
  • Para \tfrac12<t<1:
\Lambda(t)=2-2t=\sum_{n=0}^{\infty} b_n t^n,\quad b_0=2,\\ b_1=-2,\\ b_n=0\\ (n\ge2).
Intervalos de convergência:
  • Cada uma das séries acima é um polinômio, portanto converge para todo t (raio de convergência infinito).
  • Em termos de representação da função \Lambda(t), cada série representa \Lambda apenas no respectivo intervalo em que a definição por partes coincide com aquela expressão. Não existe uma única série de potência que represente \Lambda(t) em um intervalo que contenha os pontos t=0,\tfrac12,1 onde a função tem mudança de trecho (saliência nas derivadas).

Resposta

Para t<0 e t>1: \Lambda(t)=0=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}0\cdot t^n.
Para 0<t<\tfrac12: \Lambda(t)=2t=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n t^n com a_0=0,\\ a_1=2,\\ a_n=0 para n\ge2.
Para \tfrac12<t<1: \Lambda(t)=2-2t=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n t^n com b_0=2,\\ b_1=-2,\\ b_n=0 para n\ge2.
Intervalos de convergência (dos polinômios): cada série converge para todo t (raio de convergência infinito), mas representa \Lambda(t) apenas no trecho onde a definição por partes coincide com aquele polinômio (ou seja, nos intervalos indicados acima).

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