Determine a curvatura de
f(x)=\tan x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a curvatura da função f(x)=\tan x.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\tan x.
  • A curva é o gráfico de y=f(x) no plano.
  • A função não está definida onde \cos x=0, ou seja em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}). Nesses pontos a curvatura não pode ser calculada porque a própria função não existe.
  • O objetivo é obter uma expressão de \kappa(x) válida nos pontos onde \tan x está definida.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar) — o que é curvatura e a fórmula para curvas do tipo y=f(x):
A curvatura \kappa(x) mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto. Para uma curva dada por y=f(x) a fórmula padrão é
\kappa(x)=\frac{|f''(x)|}{\big(1+(f'(x))^2\big)^{3/2}}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada primeira (a inclinação da tangente);
  • f''(x) é a derivada segunda (a taxa de variação da inclinação);
  • o valor absoluto garante \kappa(x)\ge0.
Vou aplicar essa fórmula à função f(x)=\tan x. Não se preocupe se a fórmula parecer abstrata — a gente vai calcular tudo passo a passo.

Passo 3

Calcular f'(x). Use a regra de derivação da tangente (ou a regra do quociente):
f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}.
Portanto
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Calcular f''(x). Derivando f'(x)=\operatorname{sec}^2 x. Usando a regra da cadeia ou a regra do produto (sabendo que (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x):
f''(x)=\big(\operatorname{sec}^2 x\big)'=2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x)'=2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x.
Logo
f''(x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x.

Passo 5

Substituir na fórmula da curvatura e simplificar. Começando com a forma direta:
\kappa(x)=\frac{\big|2\operatorname{sec}^2 x\tan x\big|}{\big(1+\operatorname{sec}^4 x\big)^{3/2}}.
Essa já é uma expressão correta. Podemos reescrever em termos de \sin e \cos para ficar mais explícito e ver melhor o domínio. Usando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},
\text{numerador}=\big|2\operatorname{sec}^2 x\tan x\big|=\frac{2|\sin x|}{|\cos x|^3},
e
1+\operatorname{sec}^4 x=1+\frac{1}{\cos^4 x}=\frac{\cos^4 x+1}{\cos^4 x},
então
\big(1+\operatorname{sec}^4 x\big)^{3/2}=\frac{(\cos^4 x+1)^{3/2}}{\cos^6 x}.
Dividindo num e denom e simplificando os fatores de \cos obtemos
\kappa(x)=\frac{2|\sin x|}{|\cos x|^3}\cdot\frac{\cos^6 x}{(\cos^4 x+1)^{3/2}} = \frac{2|\sin x|\,|\cos x|^3}{\big(\cos^4 x+1\big)^{3/2}}.

Passo 6

Comentários finais e interpretação curta:
  • A expressão é válida para todos x tais que \cos x\neq0 (isto é, x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi).
  • A curvatura é sempre não negativa, por isso aparecem valores absolutos em |\sin x| e |\cos x|.
  • Forma compacta útil para cálculos rápidos:
\kappa(x)=\frac{\big|2\operatorname{sec}^2 x\tan x\big|}{\big(1+\operatorname{sec}^4 x\big)^{3/2}}.

Resposta

\kappa(x)=\frac{\big|2\operatorname{sec}^2 x\tan x\big|}{\big(1+\operatorname{sec}^4 x\big)^{3/2}}
ou, equivalentemente,
\kappa(x)=\frac{2|\sin x|\,|\cos x|^3}{\big(\cos^4 x+1\big)^{3/2}},\qquad x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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