O enunciado pede: determinar a curvatura da função f(x)=\tan x.
Informações dadas e observações iniciais:
A função é f(x)=\tan x.
A curva é o gráfico de y=f(x) no plano.
A função não está definida onde \cos x=0, ou seja em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z}). Nesses pontos a curvatura não pode ser calculada porque a própria função não existe.
O objetivo é obter uma expressão de \kappa(x) válida nos pontos onde \tan x está definida.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar) — o que é curvatura e a fórmula para curvas do tipo y=f(x):
A curvatura \kappa(x) mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto. Para uma curva dada por y=f(x) a fórmula padrão é
Calcular f''(x). Derivando f'(x)=\operatorname{sec}^2 x. Usando a regra da cadeia ou a regra do produto (sabendo que (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x):
Essa já é uma expressão correta. Podemos reescrever em termos de \sin e \cos para ficar mais explícito e ver melhor o domínio. Usando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},