[4] ( 0.5 pt ) Represente a função abaixo como soma de uma série de potência e determine o intervalo de convergência
Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg}(\alpha x)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
Representar a função \operatorname{arctg}(\alpha x) como soma de uma série de potências e determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Utilizando diferenciação pelo parâmetro, calcular a integral imprópria
essa é a expansão de Taylor em t=0. Explicando por que isso: a derivada é \dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}t=\dfrac{1}{1+t^{2}} e a série de potências de \dfrac{1}{1+u} com u=t^{2} leva diretamente a essa soma depois de integrar termo a termo. O raio de convergência é 1 (pelo teste da razão ou pelo fato conhecido da série alternada com potências t^{2n+1}) e nos pontos extremos t=\pm 1 a série converge condicionalmente (alternada) para \pm\pi/4.
Substituindo t=\alpha x obtemos a representação pedida:
Nos pontos \lvert \alpha x\rvert=1 a convergência é condicional (série alternada). Se \alpha=0 a série é trivialmente 0.
Passo 3
Verificação de convergência da integral I(\alpha) para todo \alpha\in\mathbb{R}. Preciso checar comportamento em x\to 0^{+} e x\to\infty:
Quando x\to 0^{+}: \operatorname{arctg}(\alpha x)\sim \alpha x (desenvolvimento de Taylor), então o integrando \dfrac{\operatorname{arctg}(\alpha x)}{x(1+x^{2})}\sim \dfrac{\alpha x}{x(1+0)}=\alpha, finito; logo não há divergência no zero.
Quando x\to\infty: \operatorname{arctg}(\alpha x) é limitado (tende a \pm\pi/2), e o denominador é x(1+x^{2})\sim x^{3}, então o integrando decai como O(1/x^{3}), integrável no infinito.
Conclusão: para todo \alpha\in\mathbb{R} a integral I(\alpha) converge (é finita).
e g(x) é integrável em [0,\infty). Pelo teorema da diferenciação sob o integral (ou convergência dominada), pode-se permutar derivada e integral. Assim
Cálculo explícito de I'(\alpha). Primeiro trato o caso \alpha>0 (para \alpha<0 a simetria será usada). Faço decomposição em frações parciais em função de x:
Para \alpha=0 temos diretamente I'(0)=\int_{0}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\dfrac{\pi}{2}, que coincide com o limite da expressão acima quando \alpha\to 0^{+}. Para \alpha<0 note que a expressão do integrando em I'(\alpha) depende apenas de \alpha^{2}, portanto I'(\alpha) é uma função par: I'(-\alpha)=I'(\alpha). Assim, para \alpha<0 obtemos
I'(\alpha)=\frac{\pi}{2(1+\lvert\alpha\rvert)}.
Resumindo de forma compacta:
I'(\alpha)=\frac{\pi}{2(1+\lvert\alpha\rvert)}\quad(\text{para todo }\alpha\in\mathbb{R}).
Passo 6
Integro I'(\alpha) para recuperar I(\alpha). Como I(0)=\int_{0}^{\infty}0\,dx=0, tomo a primitiva com condição inicial I(0)=0.
Caso \alpha\ge 0: I'(\alpha)=\dfrac{\pi}{2(1+\alpha)}, então