Determine os vetores \vec{T}, \vec{N} e \vec{B} para a curva \vec{r}(t)=\cos t \hat{i}+\operatorname{sen} t \hat{j}+ \ln \cos t \hat{k} no ponto ( 1,0,0 ). (Resposta: \vec{T}=\hat{j}, \vec{N}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}, \vec{B}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k} )
Primeiro determinar o(s) valor(es) de t que geram o ponto (1,0,0). As coordenadas exigem
\cos t = 1,\qquad \sin t = 0,\qquad \ln(\cos t)=0.
Da primeira igualdade \cos t=1 segue que
t=0+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Escolhemos t=0 (vale para o ponto indicado). Verificação rápida: \cos 0=1, \sin 0=0, \ln(\cos 0)=\ln 1=0. Portanto avaliamos as derivadas em t=0.
Passo 3
Definição e cálculo de \vec{T}.
A definição prática que usamos em provas é: \displaystyle \vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|}. Aqui \vec{r}'(t) é a derivada vetorial de \vec{r} em relação a t e \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor.
Calculemos \vec{r}'(t). Derivando componente a componente:
O vetor binormal é definido por \displaystyle \vec{B}(t)=\vec{T}(t)\times\vec{N}(t) (produto vetorial), e assim é um vetor unitário perpendicular a \vec{T} e \vec{N} formando um triângulo ortonormal.
Usando \vec{T}(0)=\hat{j} e \vec{N}(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}, calculemos o produto vetorial: