Determine os vetores \vec{T}, \vec{N} e \vec{B} para a curva \vec{r}(t)=\cos t \hat{i}+\operatorname{sen} t \hat{j}+ \ln \cos t \hat{k} no ponto ( 1,0,0 ). (Resposta: \vec{T}=\hat{j}, \vec{N}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}, \vec{B}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k} )

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}+\ln(\cos t)\,\hat{k}
e pede os vetores unitários tangente \vec{T}, normal principal \vec{N} e binormal \vec{B} no ponto (1,0,0).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão paramétrica \vec{r}(t) (peguei-a do enunciado).
  • O ponto onde devemos avaliar é (1,0,0) (peguei-o do enunciado).
  • Preciso encontrar \vec{T},\vec{N},\vec{B} naquele ponto.

Passo 2

Primeiro determinar o(s) valor(es) de t que geram o ponto (1,0,0). As coordenadas exigem
\cos t = 1,\qquad \sin t = 0,\qquad \ln(\cos t)=0.
Da primeira igualdade \cos t=1 segue que
t=0+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Escolhemos t=0 (vale para o ponto indicado). Verificação rápida: \cos 0=1, \sin 0=0, \ln(\cos 0)=\ln 1=0. Portanto avaliamos as derivadas em t=0.

Passo 3

Definição e cálculo de \vec{T}.
  • A definição prática que usamos em provas é: \displaystyle \vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|}. Aqui \vec{r}'(t) é a derivada vetorial de \vec{r} em relação a t e \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor.
  • Calculemos \vec{r}'(t). Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big)=\frac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t.
Logo
\vec{r}'(t)=-\sin t\,\hat{i}+\cos t\,\hat{j}-\tan t\,\hat{k}.
  • Avaliando em t=0:
\vec{r}'(0)=0\cdot\hat{i}+1\cdot\hat{j}-0\cdot\hat{k}=\hat{j}.
  • Norma de \vec{r}'(0):
\|\vec{r}'(0)\|=\|\hat{j}\|=1.
  • Portanto
\vec{T}(0)=\frac{\vec{r}'(0)}{\|\vec{r}'(0)\|}=\hat{j}.

Passo 4

Definição e cálculo de \vec{N}.
  • Uma definição prática para o vetor normal principal é
\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|},
mas em cálculos é comum usar a forma equivalente (mais direta quando se conhece \vec{r}''):
\vec{N}(t)=\frac{\vec{r}''(t)-\big(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t)\big)\vec{T}(t)}{\big\|\vec{r}''(t)-\big(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t)\big)\vec{T}(t)\big\|}.
Aqui \vec{r}''(t) é a segunda derivada vetorial e o produto \cdot é o produto escalar.
  • Calculemos \vec{r}''(t) derivando \vec{r}'(t):
\frac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t,\qquad \frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,\qquad \frac{d}{dt}(-\tan t)=-\operatorname{sec}^2 t.
Assim
\vec{r}''(t)=-\cos t\,\hat{i}-\sin t\,\hat{j}-\operatorname{sec}^2 t\,\hat{k}.
  • Avaliando em t=0:
\vec{r}''(0)=-1\cdot\hat{i}+0\cdot\hat{j}-1\cdot\hat{k}=-\hat{i}-\hat{k}.
  • Calcule o produto escalar \vec{r}''(0)\cdot\vec{T}(0):
\vec{r}''(0)\cdot\vec{T}(0)=(-\hat{i}-\hat{k})\cdot\hat{j}=0.
Como o produto escalar é zero, \vec{r}''(0) já é perpendicular a \vec{T}(0). Portanto a expressão do numerador fica apenas \vec{r}''(0).
  • Norma de \vec{r}''(0):
\|-\hat{i}-\hat{k}\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • Normalizando:
\vec{N}(0)=\frac{-\hat{i}-\hat{k}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}.

Passo 5

Cálculo de \vec{B}.
  • O vetor binormal é definido por \displaystyle \vec{B}(t)=\vec{T}(t)\times\vec{N}(t) (produto vetorial), e assim é um vetor unitário perpendicular a \vec{T} e \vec{N} formando um triângulo ortonormal.
  • Usando \vec{T}(0)=\hat{j} e \vec{N}(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}, calculemos o produto vetorial:
\vec{T}(0)\times\vec{N}(0) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}.
Expandindo:
\vec{B}(0)=\left(1\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-0\cdot 0\right)\hat{i} +\left(0\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-0\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)\hat{j} +\left(0\cdot 0-1\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)\hat{k}.
Isso dá
\vec{B}(0)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}+0\cdot\hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k} =-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}.
  • Pode-se verificar rapidamente que \|\vec{B}(0)\|=1 e que \vec{B}(0) é ortogonal a \vec{T}(0) e \vec{N}(0), confirmando que está correto.

Resposta

\vec{T}=\hat{j}
\vec{N}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}
\vec{B}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{k}

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