[4 Pontos] Calcule as derivadas das seguintes funçōes.
h(x)=\frac{\cos (\ln (x))}{\cos (x)}\;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a derivada da função h definida por
h(x)=\frac{\cos(\ln(x))}{\cos(x)}.
  • Informações relevantes sobre o domínio que serão úteis: \ln(x) exige x>0 e o denominador \cos(x) não pode ser zero. Logo o domínio efetivo é
\{x>0 \mid \cos(x)\neq 0\}.
  • A pergunta é única: calcular h'(x) para x no domínio acima.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  • Para derivar uma razão \dfrac{u(x)}{v(x)} usamos a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},
onde u'=du/dx e v'=dv/dx.
  • Interpretação: diferenciamos o numerador e o denominador separadamente, combinamos como na fórmula acima e dividimos pelo quadrado do denominador.
  • Para derivar uma função composta, por exemplo \cos(\ln(x)), usamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\cos(g(x))\big) = -\sin(g(x))\cdot g'(x).
  • Explicando: a derivada de \cos é -\sin avaliada no argumento, multiplicada pela derivada do argumento g(x).
Vamos aplicar essas duas ideias com u(x)=\cos(\ln(x)) e v(x)=\cos(x).

Passo 3

Derivar o numerador u(x)=\cos(\ln(x)) usando regra da cadeia.
  • Tome g(x)=\ln(x). Então g'(x)=\dfrac{1}{x}.
  • A derivada de \cos é -\sin, então
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(\ln(x))\big) = -\sin(\ln(x))\cdot\frac{1}{x}.
  • Logo, escrevendo de forma simples:
u'(x)=-\frac{\sin(\ln(x))}{x}.

Passo 4

Derivar o denominador v(x)=\cos(x).
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x). Portanto
v'(x)=-\sin(x).

Passo 5

Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo.
  • Usando u,u',v,v' na fórmula
h'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} = \frac{\big(-\dfrac{\sin(\ln(x))}{x}\big)\cos(x) - \cos(\ln(x))\big(-\sin(x)\big)}{\cos^2(x)}.
  • Removendo os sinais e organizando:
h'(x)=\frac{-\dfrac{\sin(\ln(x))}{x}\cos(x) + \cos(\ln(x))\sin(x)}{\cos^2(x)}.
  • Se quisermos colocar tudo num único quociente com denominador comum x\cos^2(x), multiplicamos termo a termo:
h'(x)=\frac{-\cos(x)\sin(\ln(x)) + x\cos(\ln(x))\sin(x)}{x\cos^2(x)}.

Passo 6

Forma final e observações rápidas para a prova.
  • As duas formas equivalentes que podem aparecer como resposta (escolha a que achar mais clara no caderno):
    1. Forma separada:
    h'(x)=-\frac{\sin(\ln(x))}{x\cos(x)}+\frac{\cos(\ln(x))\sin(x)}{\cos^2(x)}.
    1. Forma única (tudo num só quociente):
    h'(x)=\frac{-\cos(x)\sin(\ln(x))+x\cos(\ln(x))\sin(x)}{x\cos^2(x)}.
  • Dica prática: ao resolver na prova, escreva u e v, calcule u' e v' com calma (não pular a cadeia), e só então aplique a fórmula do quociente — evita erros de sinal.

Resposta

h'(x)=\frac{-\cos(x)\sin(\ln(x))+x\cos(\ln(x))\sin(x)}{x\cos^2(x)}

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