[4 Pontos] Calcule as derivadas das seguintes funçōes.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se a derivada da função
definida por
- Informações relevantes sobre o domínio que serão úteis:
exige e o denominador não pode ser zero. Logo o domínio efetivo é
- A pergunta é única: calcular
para no domínio acima.
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
- Para derivar uma razão
usamos a regra do quociente:
onde
e
.
- Interpretação: diferenciamos o numerador e o denominador separadamente, combinamos como na fórmula acima e dividimos pelo quadrado do denominador.
- Para derivar uma função composta, por exemplo
, usamos a regra da cadeia:
- Explicando: a derivada de
é avaliada no argumento, multiplicada pela derivada do argumento .
Vamos aplicar essas duas ideias com
e
.
Passo 3
Derivar o numerador
usando regra da cadeia.
- Tome
. Então . - A derivada de
é , então
- Logo, escrevendo de forma simples:
Passo 4
Derivar o denominador
.
- A derivada de
é . Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo.
- Usando
na fórmula
- Removendo os sinais e organizando:
- Se quisermos colocar tudo num único quociente com denominador comum
, multiplicamos termo a termo:
Passo 6
Forma final e observações rápidas para a prova.
- As duas formas equivalentes que podem aparecer como resposta (escolha a que achar mais clara no caderno):
- Forma separada:
- Forma única (tudo num só quociente):
- Dica prática: ao resolver na prova, escreva
e , calcule e com calma (não pular a cadeia), e só então aplique a fórmula do quociente — evita erros de sinal.