Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
g(t)=t e^{-|t|} (Dica: \left.t e^{-|t|}=t e^{-t} u(t)+t e^{t} u(-t)\right)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
g(t)=t e^{-|t|}
e pede: determinar a transformada de Fourier de g(t). O enunciado também fornece a dica (que será usada):
t e^{-|t|}=t e^{-t} u(t)+t e^{t} u(-t),
onde u(t) é a função degrau unitário. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos definir claramente a convenção de transformada de Fourier que vou usar (essa escolha importa na forma final). Vou usar a convenção habitual em sinais contínuos sem fatores de normalização:
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \omega é a frequência angular. O objetivo é calcular G(\omega) para todo \omega\in\mathbb{R}.

Passo 3

Usando a dica (a decomposição em dois ramos), escrevo G(\omega) como soma de duas integrais:
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(t e^{-t}u(t)+t e^{t}u(-t)\bigr)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Como u(t) anula a parte negativa e u(-t) anula a parte positiva, isso se separa em
G(\omega)=\int_{0}^{\infty} t e^{-t} e^{-j\omega t}\,dt \;+\; \int_{-\infty}^{0} t e^{t} e^{-j\omega t}\,dt.
Vou chamar a primeira integral de I_1 e a segunda de I_2:
I_1=\int_{0}^{\infty} t e^{-t} e^{-j\omega t}\,dt, \qquad I_2=\int_{-\infty}^{0} t e^{t} e^{-j\omega t}\,dt,
de modo que G(\omega)=I_1+I_2.

Passo 4

Calculo I_1. Repare que
I_1=\int_{0}^{\infty} t e^{-(1+j\omega)t}\,dt.
Existe uma fórmula padrão (laplace-like) que afirma, para \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s^{2}}.
Vou mostrar rapidamente por integração por partes para fixar a ideia. Seja s=1+j\omega (a parte real \Re(s)=1>0, então a integral converge). Fazer integração por partes com u=t e dv=e^{-s t}dt dá:
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt, \qquad dv=e^{-s t}dt\quad\Rightarrow\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira em t\to\infty é zero porque \Re(s)>0 faz e^{-s t}\to 0 exponencialmente; em t=0 é zero também. Então
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\left[\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt\right] =\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Aplicando com s=1+j\omega obtemos
I_1=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}.

Passo 5

Agora calculo I_2:
I_2=\int_{-\infty}^{0} t e^{t} e^{-j\omega t}\,dt.
Faço a substituição t=-\tau. Então, quando t=-\infty temos \tau=+\infty e quando t=0 temos \tau=0; além disso dt=-d\tau e t=-\tau. Substituindo:
I_2=\int_{\tau=+\infty}^{0} (-\tau)\,e^{-\tau}\,e^{-j\omega(-\tau)}(-d\tau).
Os sinais se simplificam e fica
I_2=\int_{\infty}^{0} \tau e^{-\tau} e^{j\omega \tau}\,d\tau.
Invertendo os limites (o que introduz um sinal negativo),
I_2=-\int_{0}^{\infty} \tau e^{-\tau} e^{j\omega \tau}\,d\tau = -\int_{0}^{\infty} \tau e^{-(1 - j\omega)\tau}\,d\tau.
Agora aplico a mesma fórmula com s'=1-j\omega (aqui \Re(s')=1>0, logo converge):
\int_{0}^{\infty} \tau e^{-s'\tau}\,d\tau=\frac{1}{(s')^{2}}.
Portanto
I_2=-\frac{1}{(1-j\omega)^{2}}.

Passo 6

Somando I_1 e I_2 obtemos G(\omega):
G(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}-\frac{1}{(1-j\omega)^{2}}.
Agora vamos simplificar essa diferença. Denote a=1+j\omega e b=1-j\omega. Então
\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}.
Calculo b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a). Como b-a=(1-j\omega)-(1+j\omega)=-2j\omega e b+a=2, tem-se
b^{2}-a^{2}=-2j\omega\cdot 2 = -4j\omega.
Além disso
a b=(1+j\omega)(1-j\omega)=1+\omega^{2}, \qquad a^{2}b^{2}=(ab)^{2}=(1+\omega^{2})^{2}.
Portanto
G(\omega)=\frac{-4j\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}.
Podemos escrever de forma equivalente
G(\omega)=-\;j\,\frac{4\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}.

Passo 7

Breve interpretação (útil para a prova): a transformada é uma função puramente imaginária ímpar de \omega (ou seja, \Re\{G(\omega)\}=0 e G(-\omega)=-G(\omega)), o que é consistente com g(t) sendo uma função real e ímpar? Na verdade g(t)=t e^{-|t|} é uma função par? (não precisa provar aqui) — o ponto importante é que a expressão final mostra simetria ímpar por causa do fator \omega no numerador e do j.

Resposta

G(\omega)=-\frac{4j\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}

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