Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
(Dica:
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede: determinar a transformada de Fourier de
. O enunciado também fornece a dica (que será usada):
onde
é a função degrau unitário. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos definir claramente a convenção de transformada de Fourier que vou usar (essa escolha importa na forma final). Vou usar a convenção habitual em sinais contínuos sem fatores de normalização:
onde
é a unidade imaginária (
) e
é a frequência angular. O objetivo é calcular
para todo
.
Passo 3
Usando a dica (a decomposição em dois ramos), escrevo
como soma de duas integrais:
Como
anula a parte negativa e
anula a parte positiva, isso se separa em
Vou chamar a primeira integral de
e a segunda de
:
de modo que
.
Passo 4
Calculo
. Repare que
Existe uma fórmula padrão (laplace-like) que afirma, para
,
Vou mostrar rapidamente por integração por partes para fixar a ideia. Seja
(a parte real
, então a integral converge). Fazer integração por partes com
e
dá:
Aplicando a fórmula
,
O termo de fronteira em
é zero porque
faz
exponencialmente; em
é zero também. Então
Aplicando com
obtemos
Passo 5
Agora calculo
:
Faço a substituição
. Então, quando
temos
e quando
temos
; além disso
e
. Substituindo:
Os sinais se simplificam e fica
Invertendo os limites (o que introduz um sinal negativo),
Agora aplico a mesma fórmula com
(aqui
, logo converge):
Portanto
Passo 6
Somando
e
obtemos
:
Agora vamos simplificar essa diferença. Denote
e
. Então
Calculo
. Como
e
, tem-se
Além disso
Portanto
Podemos escrever de forma equivalente
Passo 7
Breve interpretação (útil para a prova): a transformada é uma função puramente imaginária ímpar de
(ou seja,
e
), o que é consistente com
sendo uma função real e ímpar? Na verdade
é uma função par? (não precisa provar aqui) — o ponto importante é que a expressão final mostra simetria ímpar por causa do fator
no numerador e do
.