[4] (2,5 pontos) Considere y=ln x e:
a) Determine a curvatura k(x); e
b) O que acontece com a curvatura quando x infty ?

Passo 1

Beleza, temos um exercício onde precisamos trabalhar com a função $ y = \ln x $. O que a gente vai fazer aqui é calcular a curvatura dessa função, que é uma medida de quão “curvada” a curva está em cada ponto. Depois, vamos ver o que acontece com essa curvatura quando $ x $ cresce sem limites, ou seja, quando $ x $ vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é curvatura. Para uma função $ y = f(x) $, a curvatura $ k(x) $ em um ponto qualquer é dada pela fórmula:
y = f(x)
Aqui, $ f’(x) $ é a primeira derivada da função, que representa a inclinação, e $ f’’(x) $ é a segunda derivada, que nos dá a taxa de variação da inclinação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da nossa função $ y = \ln x $:
  1. Primeira derivada ($ f’(x) $):
y = ln x
  1. Segunda derivada ($ f’’(x) $):
f'(x)
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
f'(x) = ddx (ln x) = 1x
Vamos simplificar o denominador:
f''(x)
Então:
f''(x) = ddx ( 1x ) = -1x^2

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com a curvatura $ k(x) $ quando $ x $ tende ao infinito:
k(x)
À medida que $ x $ fica muito grande, $ x^2 + 1 $ é praticamente igual a $ x^2 $. Então:
x
Quando $ x $ vai para o infinito, $ \frac{1}{x^2} $ tende a zero. Portanto, a curvatura diminui e se aproxima de zero conforme $ x $ aumenta.

Resposta

a) A curvatura é $ k(x) = \dfrac{x}{\left(x^2 + 1\right)^{3/2}} $;
b) Quando $ x \rightarrow \infty $, a curvatura $ k(x) $ tende a zero.

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