[4] (2,5 pontos) Considere
e:
a) Determine a curvatura
; e
b) O que acontece com a curvatura quando
?
a) Determine a curvatura
b) O que acontece com a curvatura quando
Passo 1
Beleza, temos um exercício onde precisamos trabalhar com a função $ y = \ln x $. O que a gente vai fazer aqui é calcular a curvatura dessa função, que é uma medida de quão “curvada” a curva está em cada ponto. Depois, vamos ver o que acontece com essa curvatura quando $ x $ cresce sem limites, ou seja, quando $ x $ vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é curvatura. Para uma função $ y = f(x) $, a curvatura $ k(x) $ em um ponto qualquer é dada pela fórmula:
Aqui, $ f’(x) $ é a primeira derivada da função, que representa a inclinação, e $ f’’(x) $ é a segunda derivada, que nos dá a taxa de variação da inclinação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da nossa função $ y = \ln x $:
- Primeira derivada ($ f’(x) $):
- Segunda derivada ($ f’’(x) $):
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da curvatura:
Vamos simplificar o denominador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com a curvatura $ k(x) $ quando $ x $ tende ao infinito:
À medida que $ x $ fica muito grande, $ x^2 + 1 $ é praticamente igual a $ x^2 $. Então:
Quando $ x $ vai para o infinito, $ \frac{1}{x^2} $ tende a zero. Portanto, a curvatura diminui e se aproxima de zero conforme $ x $ aumenta.
Resposta
a) A curvatura é $ k(x) = \dfrac{x}{\left(x^2 + 1\right)^{3/2}} $;
b) Quando $ x \rightarrow \infty $, a curvatura $ k(x) $ tende a zero.
b) Quando $ x \rightarrow \infty $, a curvatura $ k(x) $ tende a zero.