Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral0^infty cos x1+sin ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa determinar se a integral imprópria com limites de integração infinitos converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos achar o seu valor. A integral que temos é:
integral0^infty cos x1 + sin^2 x , dx
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especialmente aquelas que lidam com integrais impróprias e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar essa integral. Uma forma de fazer isso é usando uma substituição. Vamos deixar u = sin x. Então, a derivada de u em relação a x é du = cos x , dx. Isso é ótimo porque no numerador temos cos x , dx, que é exatamente du.

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral fica mais simples:
integral du1 + u^2
Essa integral é uma forma padrão que a gente conhece. A integral de 11 + u^2 em relação a u é arctan u + C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à nossa variável original x, temos:
integral cos x1 + sin^2 x , dx = arctan(sin x) + C
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a infty:
arctan(sin x) |0^infty = arctan(sin infty) - arctan(sin 0)

Passo 5

Vamos analisar cada parte dessa expressão. Sabemos que sin 0 = 0, então arctan(sin 0) = arctan(0) = 0.
Agora, o que acontece com arctan(sin x) quando x tende ao infinito? A função sin x oscila entre -1 e 1 para todos os valores de x. Portanto, arctan(sin x) oscila entre arctan(-1) = -pi4 e arctan(1) = pi4.

Passo 6

Como x tende ao infinito, sin x continua oscilando e nunca se estabiliza em um valor fixo. Isso significa que arctan(sin x) também continua oscilando entre -pi4 e pi4 sem se aproximar de nenhum valor específico.

Passo 7

Para que a integral imprópria converja, o limite limx to infty arctan(sin x) precisaria existir e ser finito. Mas como vimos, esse limite não existe porque a função está sempre oscilando. Portanto, a integral não converge para um valor específico.

Resposta

A integral divergente, ou seja, não converge.

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