Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa determinar se a integral imprópria com limites de integração infinitos converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos achar o seu valor. A integral que temos é:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especialmente aquelas que lidam com integrais impróprias e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar essa integral. Uma forma de fazer isso é usando uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso é ótimo porque no numerador temos
, que é exatamente
.
Passo 3
Com essa substituição, nossa integral fica mais simples:
Essa integral é uma forma padrão que a gente conhece. A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Voltando à nossa variável original
, temos:
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de
a
:
Passo 5
Vamos analisar cada parte dessa expressão. Sabemos que
, então
.
Agora, o que acontece com
quando
tende ao infinito? A função
oscila entre
e
para todos os valores de
. Portanto,
oscila entre
e
.
Passo 6
Como
tende ao infinito,
continua oscilando e nunca se estabiliza em um valor fixo. Isso significa que
também continua oscilando entre
e
sem se aproximar de nenhum valor específico.
Passo 7
Para que a integral imprópria converja, o limite
precisaria existir e ser finito. Mas como vimos, esse limite não existe porque a função está sempre oscilando. Portanto, a integral não converge para um valor específico.
Resposta
A integral divergente, ou seja, não converge.