Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Vamos entender a questão: temos que analisar se a integral
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias que têm integrandos descontínuos.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
é descontínua em
, porque o denominador se torna zero nesse ponto, fazendo com que o integrando tenda ao infinito. Isso caracteriza uma integral imprópria do tipo 1.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos calcular a integral como um limite quando
se aproxima de
por valores maiores. Ou seja, reescrevemos a integral como:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Usando a regra de integração para potências, temos:
Aqui,
, então:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Como
,
, e
tende ao infinito.
Passo 5
Portanto, a expressão acima resulta em:
Isso significa que a integral tende ao infinito, ou seja, ela diverge.
Resposta
A integral
diverge.