Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral-2^-1 1(x+2)^5 / 4 d x

Passo 1

Vamos entender a questão: temos que analisar se a integral integral-2^-1 1(x+2)^5 / 4 , dx converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias que têm integrandos descontínuos.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função 1(x+2)^5/4 é descontínua em x = -2, porque o denominador se torna zero nesse ponto, fazendo com que o integrando tenda ao infinito. Isso caracteriza uma integral imprópria do tipo 1.

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos calcular a integral como um limite quando x se aproxima de -2 por valores maiores. Ou seja, reescrevemos a integral como:
lima to -2^+ integrala^-1 1(x+2)^5/4 , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
integral 1(x+2)^5/4 , dx = integral (x+2)^-5/4 , dx
Usando a regra de integração para potências, temos:
integral (x+2)^n , dx = (x+2)^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Aqui, n = -54, então:
integral (x+2)^-5/4 , dx = (x+2)^-1/4-1/4 + C = -4(x+2)^-1/4 + C
Aplicando os limites de integração:
lima to -2^+ [ -4(x+2)^-1/4 ]a^-1 = lima to -2^+ [ -4(1)^-1/4 - (-4)(a+2)^-1/4 ]
Simplificando:
-4(1) + 4 lima to -2^+ (a+2)^-1/4
Como a to -2^+, a + 2 to 0^+, e (0^+)^-1/4 tende ao infinito.

Passo 5

Portanto, a expressão acima resulta em:
-4 + 4 cdot infty = infty
Isso significa que a integral tende ao infinito, ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral integral-2^-1 1(x+2)^5 / 4 , dx diverge.

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