Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral-infty^0 1x^2-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que tem limites infinitos. O enunciado pede para verificar se a integral integral-infty^0 1x^2-3x+2 , dx converge ou diverge. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de integração como frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^2 - 3x + 2. Vamos fatorar esse polinômio para facilitar a integração.
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Então, a integral fica:
integral-infty^0 1(x - 1)(x - 2) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2
Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x - 2), temos:
1 = A(x - 2) + B(x - 1)

Passo 4

Para encontrar A e B, escolhemos valores de x que simplifiquem a equação.
Se x = 2:
1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 1
Se x = 1:
1 = A(-1) + B(0) Rightarrow -A = 1 Rightarrow A = -1
Então, a decomposição fica:
1(x - 1)(x - 2) = -1x - 1 + 1x - 2

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral-infty^0 ( -1x - 1 + 1x - 2 ) dx
Vamos separar as integrais:
- integral-infty^0 1x - 1 , dx + integral-infty^0 1x - 2 , dx

Passo 6

Integramos cada termo:
- ln|x - 1| + ln|x - 2| |-infty^0
Avaliaremos os limites agora.

Passo 7

Primeiro, avaliamos em x = 0:
- ln|0 - 1| + ln|0 - 2| = -ln(1) + ln(2) = 0 + ln(2) = ln(2)
Agora, avaliamos em x = -L e depois fazemos L to infty:
- ln| -L - 1 | + ln| -L - 2 | = -ln(L + 1) + ln(L + 2)

Passo 8

Calculamos o limite quando L to infty:
limL to infty [ -ln(L + 1) + ln(L + 2) ] = limL to infty ln( L + 2L + 1 ) = ln(1) = 0

Passo 9

Então, somando os resultados:
ln(2) - 0 = ln(2)

Resposta

A integral imprópria integral-infty^0 1x^2-3x+2 , dx converge e seu valor é ln(2).

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