[4] (2,0 pontos) Uma fábrica de embalagens de papelão confecciona caixas no formato de paralelepípedos. Sabendo que uma determinada caixa tem dimensões 50 cm de largura, 60 de comprimento e 55 cm de altura e que o erro dessa aferição é de no máximo
, use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo de sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma caixa com dimensões de 50 cm de largura, 60 cm de comprimento e 55 cm de altura. Cada uma dessas medidas pode ter um erro de até 0,1 cm na hora de medir. O que precisamos descobrir é qual é o erro máximo que pode ocorrer no cálculo da área total dessa caixa usando diferenciais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados à geometria das caixas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área total de uma caixa em forma de paralelepípedo. A fórmula é:
Onde:
- $ l $ é o comprimento,
- $ w $ é a largura,
- $ h $ é a altura.
Passo 3
Agora, para estimar o erro na área total devido aos erros nas medidas das dimensões, vamos usar diferenciais. O diferencial da área ($ dS $) é dado por:
Aqui, $ dl $, $ dw $, e $ dh $ representam os erros nas medidas de comprimento, largura e altura, respectivamente.
Passo 4
Sabemos que cada erro ($ dl $, $ dw $, $ dh $) é no máximo 0,1 cm. Vamos substituir os valores:
- $ l = 60 $ cm,
- $ w = 50 $ cm,
- $ h = 55 $ cm,
- $ dl = dw = dh = 0,1 $ cm.
Então:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
- $ 2(50 + 55)(0,1) = 2(105)(0,1) = 21 $ cm²
- $ 2(60 + 55)(0,1) = 2(115)(0,1) = 23 $ cm²
- $ 2(60 + 50)(0,1) = 2(110)(0,1) = 22 $ cm²
Passo 6
Somando todos os erros:
[ dS = 21 + 23 + 22 = 66 ) cm²
Resposta
O erro máximo estimado no cálculo da área é de 66 cm².