[4] (2,0 pontos) Uma fábrica de embalagens de papelão confecciona caixas no formato de paralelepípedos. Sabendo que uma determinada caixa tem dimensões 50 cm de largura, 60 de comprimento e 55 cm de altura e que o erro dessa aferição é de no máximo 0,1 cm, use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo de sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma caixa com dimensões de 50 cm de largura, 60 cm de comprimento e 55 cm de altura. Cada uma dessas medidas pode ter um erro de até 0,1 cm na hora de medir. O que precisamos descobrir é qual é o erro máximo que pode ocorrer no cálculo da área total dessa caixa usando diferenciais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados à geometria das caixas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área total de uma caixa em forma de paralelepípedo. A fórmula é:
S = 2(lw + lh + wh)
Onde:
  • $ l $ é o comprimento,
  • $ w $ é a largura,
  • $ h $ é a altura.

Passo 3

Agora, para estimar o erro na área total devido aos erros nas medidas das dimensões, vamos usar diferenciais. O diferencial da área ($ dS $) é dado por:
dS
Aqui, $ dl $, $ dw $, e $ dh $ representam os erros nas medidas de comprimento, largura e altura, respectivamente.

Passo 4

Sabemos que cada erro ($ dl $, $ dw $, $ dh $) é no máximo 0,1 cm. Vamos substituir os valores:
  • $ l = 60 $ cm,
  • $ w = 50 $ cm,
  • $ h = 55 $ cm,
  • $ dl = dw = dh = 0,1 $ cm.
Então:
dl

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. $ 2(50 + 55)(0,1) = 2(105)(0,1) = 21 $ cm²
  2. $ 2(60 + 55)(0,1) = 2(115)(0,1) = 23 $ cm²
  3. $ 2(60 + 50)(0,1) = 2(110)(0,1) = 22 $ cm²

Passo 6

Somando todos os erros:
[ dS = 21 + 23 + 22 = 66 ) cm²

Resposta

O erro máximo estimado no cálculo da área é de 66 cm².

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