Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(b) resolva as inequações.
3 x^2-x <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
3x^2 - x <= 0
que envolve uma inequação de segundo grau. Para isso, vamos usar o conteúdo de fatoração de polinômios e estudo de sinais de produto de fatores.

Passo 2

Para encontrar onde a expressão se anula, resolvemos
3x^2 - x = 0
Fatorando, temos
3x^2 - x = x(3x - 1)
Portanto, as raízes são x=0 e x=tfrac13.

Passo 3

Agora, fazemos o estudo de sinais de cada fator:
  • Para x<0: x é negativo e 3x-1 também é negativo, logo o produto é positivo.
  • Para 0: x é positivo e 3x-1 é negativo, logo o produto é negativo.
  • Para x>tfrac13: x e 3x-1 são positivos, logo o produto é positivo.
    Em x=0 ou x=tfrac13, a expressão vale zero.

Passo 4

Selecionamos os intervalos onde o produto x(3x-1) é negativo ou zero, pois a inequação pede 3x^2 - x <= 0.

Resposta

x in [0, tfrac13]

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