Considere a função g(x, y)=x^2 sin (y^2) e mostre peio Teorema Clairaut-Swarz que gx y=gy x;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos a função $ g(x, y) = x^{2} \sin(y^{2}) $ e queremos mostrar, usando o Teorema de Clairaut-Swarz, que as derivadas parciais misturadas $ g_{xy} $ e $ g_{yx} $ são iguais. Isso está relacionado ao estudo das derivadas parciais em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ g_{xy} $ e $ g_{yx} $. $ g_{xy} $ é a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $ primeiro e depois em relação a $ y $. Já $ g_{yx} $ é a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ primeiro e depois em relação a $ x $. Queremos mostrar que esses dois valores são iguais.

Passo 3

Vamos calcular $ g_{xy} $ primeiro. Começamos derivando $ g(x, y) $ em relação a $ x $:
gxy
Como $ \sin(y^{2}) $ é uma constante em relação a $ x $, a derivada fica:
g(x, y)

Passo 4

Agora, derivamos $ g_{x} $ em relação a $ y $ para encontrar $ g_{xy} $:
gx
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(y^{2}) $ em relação a $ y $ é $ 2y \cos(y^{2}) $:
y

Passo 5

Agora, vamos calcular $ g_{yx} $. Primeiro, derivamos $ g(x, y) $ em relação a $ y $:
gyx
Aplicando a regra da cadeia novamente, a derivada de $ \sin(y^{2}) $ em relação a $ y $ é $ 2y \cos(y^{2}) $:
g(x, y)

Passo 6

Agora, derivamos $ g_{y} $ em relação a $ x $ para encontrar $ g_{yx} $:
gy
Aqui, tratamos $ y \cos(y^{2}) $ como uma constante em relação a $ x $:
x

Resposta

Como $ g_{xy} = 4xy \cos(y^{2}) $ e $ g_{yx} = 4xy \cos(y^{2}) $, concluímos que $ g_{xy} = g_{yx} $, conforme o Teorema de Clairaut-Swarz.

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