Considere a função
e mostre peio Teorema Clairaut-Swarz que
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos a função $ g(x, y) = x^{2} \sin(y^{2}) $ e queremos mostrar, usando o Teorema de Clairaut-Swarz, que as derivadas parciais misturadas $ g_{xy} $ e $ g_{yx} $ são iguais. Isso está relacionado ao estudo das derivadas parciais em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ g_{xy} $ e $ g_{yx} $. $ g_{xy} $ é a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $ primeiro e depois em relação a $ y $. Já $ g_{yx} $ é a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ primeiro e depois em relação a $ x $. Queremos mostrar que esses dois valores são iguais.
Passo 3
Vamos calcular $ g_{xy} $ primeiro. Começamos derivando $ g(x, y) $ em relação a $ x $:
Como $ \sin(y^{2}) $ é uma constante em relação a $ x $, a derivada fica:
Passo 4
Agora, derivamos $ g_{x} $ em relação a $ y $ para encontrar $ g_{xy} $:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(y^{2}) $ em relação a $ y $ é $ 2y \cos(y^{2}) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ g_{yx} $. Primeiro, derivamos $ g(x, y) $ em relação a $ y $:
Aplicando a regra da cadeia novamente, a derivada de $ \sin(y^{2}) $ em relação a $ y $ é $ 2y \cos(y^{2}) $:
Passo 6
Agora, derivamos $ g_{y} $ em relação a $ x $ para encontrar $ g_{yx} $:
Aqui, tratamos $ y \cos(y^{2}) $ como uma constante em relação a $ x $:
Resposta
Como $ g_{xy} = 4xy \cos(y^{2}) $ e $ g_{yx} = 4xy \cos(y^{2}) $, concluímos que $ g_{xy} = g_{yx} $, conforme o Teorema de Clairaut-Swarz.