[4] (2.0 ptos) Considere a função f(x, y)=lll1|x|+|y|, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0).
(a) (1.0 pto) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
(b) (1.0 pto) A função f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfrac1|x|+|y|,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&(x,y)=(0,0),
e pede (a) as derivadas parciais de f em relação a x e y (quando existirem) e (b) verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar (i) a regra da cadeia aplicada a 1/(|x|+|y|) para (x,y)neq(0,0) e (ii) a definição de derivada parcial no ponto (0,0), além da noção de continuidade para testar diferenciabilidade.]

Passo 2

Para
Então, quando ,
onde
Pela regra da cadeia, para :

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição de derivada parcial. Por exemplo,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto01|h|-1h
Se h>0 isso vale 1/h-1h=1/h^2-1/hto+infty, e se h<0 tende a -infty. Logo não existe um limite finito, isto é,
partial fpartial x(0,0)não existe ã
Idêntico raciocínio mostra que partial f/partial y(0,0) também não existe.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0) é preciso, entre outros, que f seja contínua em (0,0). Mas ao aproximarmos de (0,0) pela reta y=0 temos
f(x,0)=1|x|to+infty(xto0),
o que não coincide com f(0,0)=1. Portanto f não é contínua em (0,0) e, consequentemente, não é diferenciável ali.

Resposta

(a) Para (x,y)neq(0,0) com xneq0 e yneq0:
partial fpartial x(x,y) =-sgn(x)l(|x|+|y|r)^2, partial fpartial y(x,y) =-sgn(y)l(|x|+|y|r)^2
Em (0,0) ambas as derivadas parciais não existem.
(b) f não é diferenciável em (0,0).

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