Encontrar grad f(x, y, z)=(fx, fy, fz) para as funções da física:
f(x, y, z)=1 / raizx^2+y^2+z^2 (ponto fonte no origem).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=1raizx^2+y^2+z^2
Isso é cálculo de derivadas parciais em R^3. Vamos usar a regra da cadeia e a regra da potência para obter partial f/partial x, partial f/partial y e partial f/partial z.

Passo 2

Para simplificar, defina
r = raizx^2+y^2+z^2,
de modo que
f = r^-1
Pela regra da potência e da cadeia,
partial fpartial x = -1cdot r^-2,partial rpartial x
Como
r = (x^2+y^2+z^2)^1/2,
temos
partial rpartial x = 12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x = xr

Passo 3

Substituindo em partial f/partial x,
partial fpartial x = -r^-2,xr = -xr^3
Pelos mesmos passos (simetria em x,y,z),
partial fpartial y = -yr^3, partial fpartial z = -zr^3

Resposta

gradf(x,y,z) =l(fx,fy,fzr) =gl(-x(x^2+y^2+z^2)^3/2,,-y(x^2+y^2+z^2)^3/2,,-z(x^2+y^2+z^2)^3/2gr)

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