Encontrar grad f(x, y, z)=(fx, fy, fz) para as funções da física:
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2) (ponto fonte ao longo do eixo z ).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2r),
ou seja, nabla f=(fx,fy,fz). Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular fx, note que f=ln(u) com u=x^2+y^2. Então
partial fpartial x =1u,partial upartial x =1x^2+y^2cdot 2x =2xx^2+y^2

Passo 3

Analogamente, para fy temos
partial fpartial y =1x^2+y^2cdot 2y =2yx^2+y^2

Passo 4

Como z não aparece em f, sua derivada parcial é
partial fpartial z=0

Passo 5

Reunindo as componentes, o gradiente fica
nabla f(x,y,z) =l(fx,fy,fzr) =(2xx^2+y^2,,2yx^2+y^2,,0)

Resposta

nabla f(x,y,z) =(2xx^2+y^2,,2yx^2+y^2,,0)

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