[3] (2.0 ptos) Considere a função f(x, y)=lllx^3 y4 x^2+5 y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0). Mostre que a função f é contínua em toda parte.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3y4x^2+5y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é contínua em todo R^2. Vamos separar a análise em dois casos: pontos fora da origem e o ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então 4x^2+5y^2>0 e f é quociente de funções polinomiais cujo denominador não se anula. Logo, por teoria de funções elementares, f é contínua em cada (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0) precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Para isso, usemos coordenadas polares: defina x=rcostheta, y=rsintheta, com r>=0. Então, para (x,y)neq(0,0),
4x^2+5y^2 = r^2l(4cos^2theta+5sin^2thetar) e x^3y = r^4cos^3thetasintheta
Substituindo em f, obtemos
f(rcostheta,rsintheta) =r^4cos^3thetasintheta r^2l(4cos^2theta+5sin^2thetar) = r^2;cos^3thetasintheta 4cos^2theta+5sin^2theta

Passo 4

Note que para todo theta vale
4cos^2theta+5sin^2theta>=4 e |cos^3thetasintheta|<=1
Portanto
l|f(rcostheta,rsintheta)r| <= r^2;14 =r^24
Como rto0 implica tfracr^24to0, segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Isso mostra a continuidade em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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