[4] (2,0 ptos)Decomponha w=(1,0,3) como soma de dois vetores w1 e w2, com w1, paralelo a (1,1,1) e w2 ortogonal a (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor vec w=(1,0,3) em
vec w = vec w1 + vec w2
onde vec w1 é paralelo a (1,1,1) e vec w2 é ortogonal a (1,1,1).
Para isso, vamos usar o fato de que a projeção de vec w sobre vec v=(1,1,1) dá a parte paralela, e o resto será a parte ortogonal.

Passo 2

Calcular a projeção de vec w sobre vec v:
o produto escalar é
vec wcdotvec v = 1cdot1 + 0cdot1 + 3cdot1 = 4,
e
vec vcdotvec v = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
Logo o escalar da projeção é tfracvec wcdotvec vvec vcdotvec v = tfrac43, e
vec w1 = projvec v(vec w) = 43,l(1,1,1r) = l(tfrac43,tfrac43,tfrac43r)

Passo 3

Determinar a parte ortogonal subtraindo a projeção:
vec w2 = vec w - vec w1 = (1,0,3) - l(tfrac43,tfrac43,tfrac43r) = l(-tfrac13,-tfrac43,tfrac53r)
Verificamos que vec w2cdot(1,1,1) = -tfrac13-tfrac43+tfrac53=0, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

vec w1 = l(tfrac43,tfrac43,tfrac43r)
vec w2 = l(-tfrac13,-tfrac43,tfrac53r)

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