[3] (2,0 ptos)Os vetores a e b são tais que |a|=10,|b|=10 raiz3 e |a+b|=20. Achar o ângulo que formam os vetores a e b.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores a e b tais que
|a|=10, |b|=10raiz3 e |a+b|=20.
Queremos encontrar o ângulo theta entre a e b. Para isso vamos usar a versão vetorial da lei dos cossenos.

Passo 2

A relação vetorial que equivale à lei dos cossenos é
|a+b|^2 ;=;|a|^2 + |b|^2 + 2,|a|,|b|costheta
Aqui theta é exatamente o ângulo entre a e b.

Passo 3

Substituindo as magnitudes conhecidas na fórmula:
|a+b|^2 = 20^2 = 400,
|a|^2 = 10^2 = 100,
|b|^2 = (10raiz3)^2 = 300,
2,|a|,|b| = 2 cdot 10 cdot 10raiz3 = 200raiz3
Logo
400 = 100 + 300 + 200raiz3,costheta

Passo 4

Simplificando a equação:
400 = 400 + 200raiz3,costheta Longrightarrow 200raiz3,costheta = 0 Longrightarrow costheta = 0
A única solução em [0,180^circ] é
theta = 90^circ

Resposta

theta = 90^circ

Exercícios relacionados