Relembre que I+J=x+y ; x in I, y in J. Se I e J são subanéis, então I+J também é subanel?

Passo 1

O enunciado define, em um anel R, a soma de subanéis
I+J=,x+y mid xin I,;yin J
e pergunta se, sempre que I e J são subanéis de R, então I+J também é subanel. O conteúdo aqui é analisar os axiomas de subanel (fechamento em adição, inverso aditivo, unidade multiplicativa opcional e, sobretudo, fechamento em multiplicação) para o conjunto I+J.

Passo 2

Mostramos primeiro que I+J é subgrupo aditivo de R. De fato, se x1+y1 e x2+y2 estão em I+J com xiin I, yiin J, então
(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)in I+J
pois I e J são fechados em adição, e o inverso aditivo de x+y é (-x)+(-y)in I+J. Logo, I+J é subgrupo aditivo.

Passo 3

Para ser subanel precisamos também fechamento em multiplicação. Tomemos
u=x+yin I+J, v=x'+y'in I+J
Então
uv=(x+y)(x'+y')=xx'+xy'+yx'+yy'
Aqui xx'in I e yy'in J, mas os termos mistos xy' e yx' são produtos de elemento de I por elemento de J, e em geral não pertencem nem a I nem a J. Para que uvin I+J precisamos poder escrever
xy'+yx'=(algo em I)+(algo em J)
sempre, o que não ocorre em geral quando I e J são apenas subanéis. Logo, em geral I+J pode falhar em ser fechado sob multiplicação.

Passo 4

Contraponto com um contra-exemplo em , o anel das matrizes sobre um corpo . Defina
É fácil ver que e são subanéis (não contêm necessariamente a identidade, mas fecham em adição, inverso e multiplicação). Porém
não é fechado em multiplicação, pois
é diagonal e, salvo o caso , não pertence a . Portanto falha em ser subanel.

Passo 5

Em contraste, se I e J forem ideais de R, então para todo xin I e y'in J temos xy'in J e yx'in I, e daí
uv=xx'+(xy'+yx')+yy'
está sempre em I+J. Ou seja, a soma de ideais é sempre ideal (logo subanel), mas a soma de subanéis apenas em geral não é.

Resposta

Não. A soma de subanéis é subgrupo aditivo, mas pode falhar em fechar sob multiplicação. Só se I e J forem ideais que I+J garante ser subanel.

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