Relembre que
. Se
e
são subanéis, então
também é subanel?
Passo 1
O enunciado define, em um anel
, a soma de subanéis
e pergunta se, sempre que
e
são subanéis de
, então
também é subanel. O conteúdo aqui é analisar os axiomas de subanel (fechamento em adição, inverso aditivo, unidade multiplicativa opcional e, sobretudo, fechamento em multiplicação) para o conjunto
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é subgrupo aditivo de
. De fato, se
e
estão em
com
,
, então
pois
e
são fechados em adição, e o inverso aditivo de
é
. Logo,
é subgrupo aditivo.
Passo 3
Para ser subanel precisamos também fechamento em multiplicação. Tomemos
Então
Aqui
e
, mas os termos mistos
e
são produtos de elemento de
por elemento de
, e em geral não pertencem nem a
nem a
. Para que
precisamos poder escrever
sempre, o que não ocorre em geral quando
e
são apenas subanéis. Logo, em geral
pode falhar em ser fechado sob multiplicação.
Passo 4
Contraponto com um contra-exemplo em
, o anel das matrizes
sobre um corpo
. Defina
É fácil ver que
e
são subanéis (não contêm necessariamente a identidade, mas fecham em adição, inverso e multiplicação). Porém
não é fechado em multiplicação, pois
é diagonal e, salvo o caso
, não pertence a
. Portanto
falha em ser subanel.
Passo 5
Em contraste, se
e
forem ideais de
, então para todo
e
temos
e
, e daí
está sempre em
. Ou seja, a soma de ideais é sempre ideal (logo subanel), mas a soma de subanéis apenas em geral não é.
Resposta
Não. A soma de subanéis é subgrupo aditivo, mas pode falhar em fechar sob multiplicação. Só se
e
forem ideais que
garante ser subanel.