Questões de unicidade. No Capítulo 1 , indicamos que nas aplicações a maioria dos problemas de valor inicial terá uma única solução. De fato, a existência de solução única foi tão importante que indicamos um teorema de existência e unicidade - Teorema 1, página 10 . O método para equações separáveis pode nos dar uma solução, mas pode não nos dar todas as soluções (ver Problema 30). Para ilustrar isso, considere a equação d y / d x=y^1 / 3.
(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que
y=(2 x3+C)^3 / 2
é uma solução.
(b) Mostre que o problema de valor inicial d y / d x=y^1 / 3 com y(0)=0 é satisfeito para C=0 por y=(2 x / 3)^3 / 2 para x >= 0.
(c) Agora mostre que a função constante y equiv 0 também satisfaz o problema de valor inicial dado no item (b). Assim, esse problema de valor inicial não tem uma solução única.
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema 1 na página 10 não são satisfeitas.
(A solução y equiv 0 não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)

Passo 1

O enunciado pede para ilustrar que, ao usar o método de equações separáveis em
podemos encontrar a família de soluções
mas também existe a solução trivial
não tem unicidade. Além disso, vamos checar por que o Teorema de Existência e Unicidade (que exige continuidade de (\partial f/\partial y]) não se aplica aqui.

Passo 2

Aplicamos separação de variáveis. Assumindo yneq0, escrevemos
y^-1/3,dy = dx
Integramos ambos os lados:
integral y^-1/3,dy = integral 1,dx Longrightarrow y^2/3tfrac23 = x + C',
isto é,
32,y^2/3 = x + C' Longrightarrow y^2/3 = 23,(x + C') = 2x3 + C,
onde C=tfrac23C'. Elevando ambos os lados a 3/2, obtemos
y = l(tfrac2x3 + Cr)^3/2,
como queríamos mostrar.

Passo 3

Para o valor inicial y(0)=0 escolhemos C=0. Assim
y(x) = l(tfrac2x3r)^3/2
satisfaz
y(0)=0 e, diferindo,
dydx =ddxl((2x/3)^3/2r) =(2x/3)^1/2 = y^1/3
Portanto essa é uma solução no intervalo x>=0.

Passo 4

Verificamos agora a solução constante
y(x)equiv0
Nesse caso temos dy/dx=0 e também y^1/3=0, logo a EDO é satisfeita. Além disso, y(0)=0. Portanto yequiv0 é outra solução do mesmo problema de valor inicial.

Passo 5

Como encontramos duas funções distintas ( y=(2x/3)^3/2 e yequiv0) que satisfazem
dy/dx=y^1/3,;y(0)=0,
concluímos que não há unicidade de solução para esse problema.

Passo 6

O Teorema 1 (Existência e Unicidade) exige que f(x,y)=y^1/3 e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança de (0,0). Aqui
partial fpartial y =13,y^-2/3
não é contínua em y=0 (explode para infinito). Logo as hipóteses do teorema não se aplicam e a falta de unicidade não contradiz o teorema.

Resposta

(a) y=l(tfrac2x3+Cr)^3/2
(b) Para C=0, y=(2x/3)^3/2 satisfaz y(0)=0.
(c) A função yequiv0 também satisfaz o problema, mostrando não unicidade.
(d) A condição de continuidade de partial f/partial y falha em y=0, logo o teorema não vale aqui.

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