Questões de unicidade. No Capítulo 1 , indicamos que nas aplicações a maioria dos problemas de valor inicial terá uma única solução. De fato, a existência de solução única foi tão importante que indicamos um teorema de existência e unicidade - Teorema 1, página 10 . O método para equações separáveis pode nos dar uma solução, mas pode não nos dar todas as soluções (ver Problema 30). Para ilustrar isso, considere a equação
.
(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que
é uma solução.
(b) Mostre que o problema de valor inicial
é satisfeito para
por
para
.
(c) Agora mostre que a função constante
também satisfaz o problema de valor inicial dado no item (b). Assim, esse problema de valor inicial não tem uma solução única.
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema 1 na página 10 não são satisfeitas.
(A solução
não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)
(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que
(b) Mostre que o problema de valor inicial
(c) Agora mostre que a função constante
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema 1 na página 10 não são satisfeitas.
(A solução
Passo 1
O enunciado pede para ilustrar que, ao usar o método de equações separáveis em
podemos encontrar a família de soluções
mas também existe a solução trivial
não tem unicidade. Além disso, vamos checar por que o Teorema de Existência e Unicidade (que exige continuidade de (\partial f/\partial y]) não se aplica aqui.
Passo 2
Aplicamos separação de variáveis. Assumindo
, escrevemos
Integramos ambos os lados:
isto é,
onde
. Elevando ambos os lados a
, obtemos
como queríamos mostrar.
Passo 3
Para o valor inicial
escolhemos
. Assim
satisfaz
e, diferindo,
Portanto essa é uma solução no intervalo .
Portanto essa é uma solução no intervalo
Passo 4
Verificamos agora a solução constante
Nesse caso temos
e também
, logo a EDO é satisfeita. Além disso,
. Portanto
é outra solução do mesmo problema de valor inicial.
Passo 5
Como encontramos duas funções distintas (
e
) que satisfazem
concluímos que não há unicidade de solução para esse problema.
concluímos que não há unicidade de solução para esse problema.
Passo 6
O Teorema 1 (Existência e Unicidade) exige que
e
sejam contínuas numa vizinhança de
. Aqui
não é contínua em
(explode para infinito). Logo as hipóteses do teorema não se aplicam e a falta de unicidade não contradiz o teorema.
Resposta
(a)
(b) Para ,
satisfaz
.
(c) A função também satisfaz o problema, mostrando não unicidade.
(d) A condição de continuidade de falha em
, logo o teorema não vale aqui.
(b) Para
(c) A função
(d) A condição de continuidade de