Verifique se a série alternada é convergente
sumn=1^infty(-1)^n-1 tg 1n

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(-1)^n-1tantfrac1n. O conteúdo envolve séries alternadas e vamos usar o critério de Leibniz, que exige que a sequência an=tantfrac1n seja decrescente e anto0.

Passo 2

Para mostrar que anto0, note que 1/nto0 quando ntoinfty e tan x é contínua em x=0. Logo,
limntoinftytantfrac1n=tan0=0

Passo 3

Agora precisamos ver que an é decrescente. Considere a função f(x)=tan(1/x) para x>0. Calculando a derivada:
f'(x)=ddxtanl(1xr)=sec^2l(1xr)cdotddxl(1xr)=sec^2l(1xr)cdotl(-1x^2r)=-1x^2sec^2l(1xr)<0
Como f'(x)<0, f(x) é decrescente, logo an=f(n) forma uma sequência decrescente.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz (séries alternadas), como an>=0, an decrescente e anto0, a série converge.

Passo 5

Para ver que não converge absolutamente, observe que para n grande tantfrac1nsimtfrac1n. Como sum1/n diverge, sum|tantfrac1n| diverge, então a convergência é apenas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

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