Teste a convergência ou divergência da série
Passo 1
Enunciado resumido: temos a série de termos positivos
. Conteúdo: teste da integral para séries. Vamos usar que, para uma função positiva, contínua e decrescente, a série e a integral associada convergem ou divergem juntas. Precisamos definir a função apropriada e calcular a integral imprópria.
Passo 2
Verificação das condições do teste da integral: definimos
. Para
temos
. Além disso,
é contínua e monótona decrescente para
, pois o denominador cresce com
.
Passo 3
Cálculo da integral imprópria: consideramos
Passo 4
Substituição no integral: seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira
Passo 5
Avaliação da integral: lembrando que
, temos
que é finito. Portanto, a integral imprópria converge.
Passo 6
Pelo teste da integral, como a integral converge, a série
também converge.
Resposta
A série converge.