Teste a convergência ou divergência da série
sumn=2^infty 1n ln n raizln n

Passo 1

Enunciado resumido: temos a série de termos positivos sumn=2^infty1n,ln n,raizln n. Conteúdo: teste da integral para séries. Vamos usar que, para uma função positiva, contínua e decrescente, a série e a integral associada convergem ou divergem juntas. Precisamos definir a função apropriada e calcular a integral imprópria.

Passo 2

Verificação das condições do teste da integral: definimos f(x)=1x,(ln x)^3/2. Para x>=2 temos f(x)>0. Além disso, f(x) é contínua e monótona decrescente para x>=2, pois o denominador cresce com x.

Passo 3

Cálculo da integral imprópria: consideramos

Passo 4

Substituição no integral: seja t=ln x, então dt=dxx. Quando x=2, t=ln2; quando xtoinfty, ttoinfty. A integral vira

Passo 5

Avaliação da integral: lembrando que integral t^-3/2dt=-2t^-1/2+C, temos
que é finito. Portanto, a integral imprópria converge.

Passo 6

Pelo teste da integral, como a integral converge, a série sumn=2^infty1n,ln n,raizln n também converge.

Resposta

A série converge.

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