4ª Questão: É possível encontrar o valor de p, número real não nulo, tal que?
Alternativas Espaço para iniciar solução
a) Não, não é possível.
b) Sim, é possível. Com
c) Sim, é possível. Com
d) Sim, é possível. Com
e) Sim, é possível e este valor será
maior que 15.

Passo 1

O enunciado nos pede o valor de pneq0 tal que
limxto px^2-p^2raizx-raizp=9
O conteúdo aqui é cálculo de limite com indeterminação tfrac00, e vamos usar fatoração e racionalização.

Passo 2

Note que
x^2-p^2=(x-p)(x+p) e x-p=(raizx-raizp)(raizx+raizp)
Assim,
x^2-p^2raizx-raizp =(x-p)(x+p)raizx-raizp =(x+p),(raizx+raizp)

Passo 3

Fazendo xto p na expressão simplificada, obtemos
limxto px^2-p^2raizx-raizp =(p+p)(raizp+raizp) =2pcdot2raizp =4praizp

Passo 4

Para que o limite valha 9, impomos
4praizp=9 Long<=ftrightarrow 4,p^3/2=9 Long<=ftrightarrow p^3/2=94 Long<=ftrightarrow p=l(94r)^!2/3 =l(8116r)^!1/3

Passo 5

Numericamente temos
p=l(5,0625r)^1/3approx1,71
Como p>0 e 1,71in]0,5], a alternativa correta é a (b).

Resposta

(b) Sim, é possível. Com pin]0,5].

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