Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
f(x)=x raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x)=xraiz4-x^2
e usar o teste da primeira derivada para decidir se esses pontos são extremos relativos. Vamos precisar: (i) identificar o domínio de f, (ii) calcular f'(x) e (iii) estudar o sinal de f'(x) em torno dos pontos onde ela é zero ou não existe.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como aparece raiz4-x^2, precisamos de
4-x^2>=0Longrightarrow -2<= x<=2
Logo, o domínio é o intervalo [-2,2].

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) usando a regra do produto em
f(x)=x,(4-x^2)^1/2
Temos
f'(x) =underbrace1ddxx(4-x^2)^1/2 +xcdot12(4-x^2)^-1/2cdot(-2x)
Logo,
f'(x) =(4-x^2)^1/2-x^2(4-x^2)^1/2 =(4-x^2)-x^2raiz4-x^2 =4-2x^2raiz4-x^2

Passo 4

Identificar os pontos críticos, ou seja, onde f'(x)=0 ou não existe.
1. f'(x)=0 quando o numerador 4-2x^2=0, isto é
x^2=2Longrightarrow x=pmraiz2
2. f'(x) não existe quando o denominador raiz4-x^2=0, isto é x=pm2. Esses são os extremos do domínio.

Passo 5

Aplicar o teste da primeira derivada para x=pmraiz2.
Como o sinal de f'(x)=4-2x^2raiz4-x^2 é o mesmo do numerador 4-2x^2, vemos:
  • Em (-2,-raiz2), tem |x|>raiz2 Rightarrow 4-2x^2<0 Rightarrow f'<0.
  • Em (-raiz2,raiz2), tem |x|<raiz2 Rightarrow 4-2x^2>0 Rightarrow f'>0.
  • Em (raiz2,2), tem |x|>raiz2 Rightarrow 4-2x^2<0 Rightarrow f'<0.
Logo, em x=-raiz2 a derivada muda de negativa para positiva Rightarrow mínimo relativo;
em x=+raiz2 muda de positiva para negativa Rightarrow máximo relativo.

Resposta

Os pontos críticos são
x=-raiz2 (mínimo relativo)
e
x=+raiz2 (máximo relativo).

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