Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
e usar o teste da primeira derivada para decidir se esses pontos são extremos relativos. Vamos precisar: (i) identificar o domínio de , (ii) calcular e (iii) estudar o sinal de em torno dos pontos onde ela é zero ou não existe.
Passo 2
Determinar o domínio de . Como aparece , precisamos de
Identificar os pontos críticos, ou seja, onde f'(x)=0 ou não existe. 1. f'(x)=0 quando o numerador 4-2x^2=0, isto é
x^2=2Longrightarrow x=pmraiz2
2. f'(x) não existe quando o denominador raiz4-x^2=0, isto é x=pm2. Esses são os extremos do domínio.
Passo 5
Aplicar o teste da primeira derivada para x=pmraiz2.
Como o sinal de f'(x)=4-2x^2raiz4-x^2 é o mesmo do numerador 4-2x^2, vemos:
Em (-2,-raiz2), tem |x|>raiz2 Rightarrow 4-2x^2<0 Rightarrow f'<0.
Em (-raiz2,raiz2), tem |x|<raiz2 Rightarrow 4-2x^2>0 Rightarrow f'>0.
Em (raiz2,2), tem |x|>raiz2 Rightarrow 4-2x^2<0 Rightarrow f'<0.
Logo, em x=-raiz2 a derivada muda de negativa para positiva Rightarrow mínimo relativo;
em x=+raiz2 muda de positiva para negativa Rightarrow máximo relativo.
Resposta
Os pontos críticos são x=-raiz2 (mínimo relativo)
e x=+raiz2 (máximo relativo).