4्® Questão: Prove no sce a identidade vetorial A cdot B times C equiv B cdot C times A equiv C cdot A times B.

Passo 1

A questão pede para mostrar que o produto misto (ou triplo escalar) vec Acdot(vec Btimesvec C) é invariante sob permutações cíclicas dos vetores, ou seja, que
  • vec Acdot(vec Btimesvec C)=vec Bcdot(vec Ctimesvec A)=vec Ccdot(vec Atimesvec B).
    O conteúdo aqui é o produto escalar, o produto vetorial e o uso do símbolo de Levi-Civita para lidar com componentes. Vai ser útil escrever tudo em componentes para comparar diretamente.

Passo 2

Começando pela definição em componentes do produto misto:
vec Acdot(vec Btimesvec C)=sumi=1^3Ai,(vec Btimesvec C)ie (vec Btimesvec C)i=sumj,k=1^3epsilonijkBjCk
Logo
vec Acdot(vec Btimesvec C)=sumi,j,k=1^3Ai,epsilonijkBjCk = epsilonijkAiBjCk

Passo 3

Agora, escrevendo vec Bcdot(vec Ctimesvec A) em componentes, temos
vec Bcdot(vec Ctimesvec A)=epsilonijkBiCjAk
Mas o símbolo de Levi-Civita epsilonijk é totalmente antissimétrico e muda de sinal a cada troca de índices. Uma permutação cíclica (i,j,k)to(j,k,i) deixa epsilonijk inalterado, de modo que
epsilonijkBiCjAk = epsilonjkiAkBiCj = epsilonijkAiBjCk
Isso mostra que
vec Bcdot(vec Ctimesvec A)=epsilonijkAiBjCk=vec Acdot(vec Btimesvec C)

Passo 4

Repetindo a mesma ideia para vec Ccdot(vec Atimesvec B), percebemos que é outra permutação cíclica que mantém epsilonijk igual. Portanto todas as três expressões coincidem.
Como interpretação geométrica, esse produto mede o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e esse volume não muda se girarmos os vetores em ordem cíclica.

Resposta

Foi provado que todas as três expressões reduzem-se a epsilonijkAiBjCk, logo
vec Acdot(vec Btimesvec C)=vec Bcdot(vec Ctimesvec A)=vec Ccdot(vec Atimesvec B)

Exercícios relacionados