4्® Questão: Prove no sce a identidade vetorial
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Passo 1
A questão pede para mostrar que o produto misto (ou triplo escalar)
é invariante sob permutações cíclicas dos vetores, ou seja, que
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O conteúdo aqui é o produto escalar, o produto vetorial e o uso do símbolo de Levi-Civita para lidar com componentes. Vai ser útil escrever tudo em componentes para comparar diretamente.
Passo 2
Começando pela definição em componentes do produto misto:
Logo
Passo 3
Agora, escrevendo
em componentes, temos
Mas o símbolo de Levi-Civita
é totalmente antissimétrico e muda de sinal a cada troca de índices. Uma permutação cíclica
deixa
inalterado, de modo que
Isso mostra que
Passo 4
Repetindo a mesma ideia para
, percebemos que é outra permutação cíclica que mantém
igual. Portanto todas as três expressões coincidem.
Como interpretação geométrica, esse produto mede o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e esse volume não muda se girarmos os vetores em ordem cíclica.
Como interpretação geométrica, esse produto mede o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e esse volume não muda se girarmos os vetores em ordem cíclica.
Resposta
Foi provado que todas as três expressões reduzem-se a
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