Calcule as seguintes limites:
lim t 4[(t^3-64t^2-16) i+(cos pitt-4) j+t k]

Passo 1

Resumo: a gente quer calcular o limite, quando t→4, do vetor l(f(t),vec i + g(t),vec j + h(t),vec kr), com f(t) = (t^3−64)/(t^2−16), g(t) = cos(pi/t)/(t−4) e h(t)=t. Vamos usar limites de frações, fatoração e comportamento de funções com denominar zero.

Passo 2

Para a componente vec i: analisamos limtto4t^3−64t^2−16. Note que t^3−64=(t−4)(t^2+4t+16) e t^2−16=(t−4)(t+4). Cancelando t−4 (válido para t≠4), obtemos
t^2+4t+16t+4
Agora basta pôr t=4: numerador = 4^2+4·4+16=48, denominador = 8, logo o limite vale 48/8=6.

Passo 3

Para a componente vec j: calculamos limtto4cos(pi/t)t−4. Quando t→4, o numerador tende a cos(pi/4)=raiz2/2 (constante ≠0), enquanto o denominador tende a zero. Isso faz com que o quociente cresça em módulo sem limite, ou seja, diverge. Além disso, pelos sinais de t−4, temos limites laterais +∞ e -∞, logo nem existe limite infinito bem definido.

Passo 4

Para a componente vec k: temos limtto4t=4 direto, pois é uma função contínua.

Passo 5

Conclusão: as componentes vec i e vec k têm limites finitos (6 e 4, respectivamente), mas a componente vec j diverge. Por isso, o limite do vetor todo não existe.

Resposta

O limite não existe, pois a componente vec j diverge.

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