4ㅡㅡ Questão: Em uma região do espaço em que \mu=3 \times 10^{-5} \mathrm{H} / \mathrm{m}, \varepsilon=1,2 \times 10^{-10} \mathrm{~F} / \mathrm{m} e \sigma=0 temos \vec{E}=1000 \cos \left(10^{10} t-\beta x\right) \vec{a}_{y} V / m. Determine \vec{H} e \beta.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética plana viajando na direção x em um meio sem condutividade \sigma=0 com permeabilidade \mu=3\times10^{-5}\,\mathrm{H/m} e permissividade \varepsilon=1{,}2\times10^{-10}\,\mathrm{F/m}. O campo elétrico é
\vec{E}(x,t)=1000\cos\!\bigl(10^{10}t-\beta x\bigr)\,\vec{a}_y\quad\mathrm{V/m}.
Queremos encontrar o número de onda \beta e o campo magnético \vec{H}. Para isso vamos usar as relações de ondas planas em meio livre (ou lossless):
  1. \displaystyle \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
  2. A impedância característica do meio é \displaystyle \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}.
  3. Em uma onda plana, \vec{H}=(1/\eta)\,\vec{a}_k\times\vec{E}, onde \vec{a}_k é o versor de propagação.

Passo 2

Calcular o número de onda \beta. Aqui \omega=10^{10}\,\mathrm{rad/s} e
\sqrt{\mu\varepsilon} =\sqrt{\bigl(3\times10^{-5}\bigr)\bigl(1{,}2\times10^{-10}\bigr)} =\sqrt{3{,}6\times10^{-15}} =6\times10^{-8}.
Logo
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} =10^{10}\times6\times10^{-8} =600\quad\mathrm{rad/m}.

Passo 3

Calcular a impedância característica \eta:
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} =\sqrt{\frac{3\times10^{-5}}{1{,}2\times10^{-10}}} =\sqrt{2{,}5\times10^{5}} =500\quad\Omega.

Passo 4

Determinar a direção de \vec{H}. A onda se propaga em +\!x, e \vec{E} está em \vec{a}_y. Queremos \vec{E}\times\vec{H} em +\!\vec{a}_x. Como \vec{a}_y\times\vec{a}_z=\vec{a}_x, o campo magnético aponta em \vec{a}_z. Seu valor é
|\vec{H}|=\frac{|\vec{E}|}{\eta} =\frac{1000}{500}=2\quad\mathrm{A/m}.

Passo 5

Portanto o campo magnético é
\vec{H}(x,t) =2\cos\!\bigl(10^{10}t-600\,x\bigr)\,\vec{a}_z \quad\mathrm{A/m}.

Resposta

\displaystyle \beta=600\\ \mathrm{rad/m}, \displaystyle \vec{H}(x,t)=2\cos\!\bigl(10^{10}t-600\,x\bigr)\,\vec{a}_z\\ \mathrm{A/m}.

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