Uma xicara de aluminio com um volume de 100 \mathrm{~cm}^{3} está cheia de glicerina a 22^{\circ} \mathrm{C}. Que volume de glicerina é derramado se a temperatura da glicerina e da xicara aumenta para 38^{\circ} \mathrm{C} ? (O coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é 5,1 \times 10^{-4} / \mathrm{C}^{\circ}.)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma xícara de alumínio de volume inicial V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3} cheia de glicerina à temperatura inicial T_{0}=22{}^\circ\mathrm{C}. Ao aquecermos até T_{f}=38{}^\circ\mathrm{C}, tanto o volume da glicerina quanto o da xícara irão aumentar. O que transborda é a diferença entre o volume final da glicerina e o volume final da xícara. Vamos usar as fórmulas de dilatação volumétrica:
V_f = V_0\,(1+\beta\,\Delta T),
onde \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica e \Delta T = T_f - T_0.

Passo 2

Calculamos a variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_0 = 38{}^\circ\mathrm{C} - 22{}^\circ\mathrm{C} = 16{}^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

A glicerina tem coeficiente de dilatação volumétrica \beta_g = 5{,}1\times10^{-4}\,/{}^\circ\mathrm{C}. Logo, seu volume final será
V_{g,f} = V_0\bigl(1 + \beta_g\,\Delta T\bigr) = 100\bigl(1 + 5{,}1\times10^{-4}\times16\bigr)\\ \mathrm{cm}^3.
Calculemos a parte numérica:
5{,}1\times10^{-4}\times16 = 8{,}16\times10^{-3},
V_{g,f} = 100 \times 1{,}00816 = 100{,}816\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

O alumínio tem coeficiente de dilatação linear típico \alpha_{\text{Al}}\approx 23\times10^{-6}\,/{}^\circ\mathrm{C}. Seu coeficiente volumétrico é \beta_{\text{Al}} \approx 3\,\alpha_{\text{Al}} = 3\times23\times10^{-6} = 6{,}9\times10^{-5}\,/{}^\circ\mathrm{C}. Assim, o volume final da xícara é
V_{c,f} = V_0\bigl(1 + \beta_{\text{Al}}\,\Delta T\bigr) = 100\bigl(1 + 6{,}9\times10^{-5}\times16\bigr)\\ \mathrm{cm}^3.
Calculando:
6{,}9\times10^{-5}\times16 = 1{,}104\times10^{-3},
V_{c,f} = 100 \times 1{,}001104 = 100{,}1104\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

O volume de glicerina que transborda é a diferença
\Delta V = V_{g,f} - V_{c,f} = 100{,}816 - 100{,}1104 = 0{,}7056\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

O volume de glicerina derramado é aproximadamente 0{,}71\\ \mathrm{cm}^3.

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