Uma esfera feita de um material dielétrico linear de susceptibilidade elétrica x. é sujeito a um campo elétrico uniforme \vec{E}=\vec{E}_{0} \widehat{k}. Determine o campo elétrico dentro da esfera e a densidade de cargas ligadas superficiais e volumétricas ( \sigma_{b} e \rho_{b} ). (OBS: Expresse os resultados apenas em termos dos dados fornecidos na questão.)

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera homogênea feita de material dielétrico linear de susceptibilidade elétrica \chi, imersa num campo elétrico externo uniforme
\vec E = E_{0}\,\hat k.
Pede-se (i) o campo elétrico \emph{dentro} da esfera e (ii) as densidades de carga ligada volumétrica \rho_{b} e superficial \sigma_{b}. Para resolver, vamos usar a solução clássica do problema de uma esfera dielétrica em campo uniforme e, em seguida, calcular a polarização e as cargas ligadas.

Passo 2

Em problemas de esfera dielétrica linear e isotrópica sujeita a campo uniforme externo, o campo interno \vec E_{\rm in} é uniforme e dado por
\vec E_{\rm in} =\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\,\vec E_{0},
onde \varepsilon_{r}=1+\chi é a permissividade relativa. Substituindo \varepsilon_{r}=1+\chi obtemos
\vec E_{\rm in} =\frac{3}{(1+\chi)+2}\,E_{0}\,\hat k =\frac{3}{\chi+3}\,E_{0}\,\hat k.

Passo 3

A polarização \vec P no interior do dielétrico linear relaciona-se com o campo interno por
\vec P = \varepsilon_{0}\,\chi\,\vec E_{\rm in} =\varepsilon_{0}\,\chi\;\frac{3}{\chi+3}\,E_{0}\,\hat k.

Passo 4

As cargas ligadas volumétrica e superficial são definidas por
\rho_{b} = -\nabla\cdot\vec P, \qquad \sigma_{b} = \vec P\cdot\hat n\quad(\text{na superfície}).í
Como \vec P é uniforme dentro da esfera, temos
\rho_{b} = 0.
Na superfície a normal unitária é \hat n=\hat r, e o ângulo entre \vec P e \hat r é \theta (medido a partir do eixo k). Logo
\sigma_{b} =\vec P\cdot\hat r =\Bigl(\varepsilon_{0}\,\chi\,\frac{3}{\chi+3}\,E_{0}\hat k\Bigr)\cdot\hat r =\varepsilon_{0}\,\chi\,\frac{3}{\chi+3}\,E_{0}\,\cos\theta.

Resposta

\vec E_{\rm in} =\frac{3}{\chi+3}\,E_{0}\,\hat k, \qquad \rho_{b}=0, \qquad \sigma_{b} =\varepsilon_{0}\,\chi\,\frac{3}{\chi+3}\,E_{0}\,\cos\theta.

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