Questão: Em um material cujo \sigma=5,0 S / m e \varepsilon=\varepsilon_{0}, o campo elétrico é E=250 \operatorname{sen} 10^{10} t \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Calcule as densidades de corrente de condução e de deslocamento e a frequência na qual elas possuem o mesmo módulo.

Passo 1

Beleza, o exercício dá um material com \sigma=5{,}0\\ \mathrm{S/m} e \varepsilon=\varepsilon_{0} e o campo elétrico
E(t)=250\sin(10^{10}t)\,\mathrm{V/m}.
Pede a densidade de corrente de condução J_{c}=\sigma E, a de deslocamento J_{d}=\partial D/\partial t com D=\varepsilon E, e a frequência onde |J_{c}|=|J_{d}|.

Passo 2

A densidade de corrente de condução é dada por
J_{c}(t)=\sigma\,E(t).
Substituindo \sigma=5{,}0 e E(t)=250\sin(10^{10}t), obtemos
J_{c}(t)=5{,}0\cdot250\sin(10^{10}t)=1250\sin(10^{10}t)\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 3

A densidade de corrente de deslocamento é
J_{d}(t)=\frac{\partial D}{\partial t} =\varepsilon_{0}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}.
Como E(t)=250\sin(10^{10}t), temos
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} =250\cdot10^{10}\cos(10^{10}t).
Logo, usando \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},
J_{d}(t) =\varepsilon_{0}\,250\cdot10^{10}\cos(10^{10}t) \approx22{,}14\cos(10^{10}t)\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 4

Para achar a frequência em que as amplitudes coincidem, igualamos
\sigma E_{0}=\omega\,\varepsilon_{0}E_{0} \quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
Substituindo os valores,
\omega\approx\frac{5{,}0}{8{,}854\times10^{-12}} \approx5{,}649\times10^{11}\\ \mathrm{rad/s},
e a frequência em hertz vale
f=\frac{\omega}{2\pi}\approx\frac{5{,}649\times10^{11}}{2\pi} \approx8{,}99\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

Densidade de corrente de condução:
J_{c}(t)=1250\sin(10^{10}t)\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Densidade de corrente de deslocamento:
J_{d}(t)=22{,}14\cos(10^{10}t)\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Frequência para módulos iguais:
f\approx8{,}99\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

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