Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida.
\left(9 x^{2}+y-1\right) d x-(4 y-x) d y=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
(9x^{2}+y-1)\,dx-(4y-x)\,dy=0
e a condição inicial
y(1)=0.
O que se pede:
  • Resolver a equação diferencial sujeita à condição inicial (ou seja, encontrar a solução que passa por (x,y)=(1,0));
  • Determinar, pelo menos aproximadamente, onde (em termos de x) essa solução é válida.
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes da forma diferencial são M(x,y)=9x^{2}+y-1 (multiplicando dx) e N(x,y)=-(4y-x)=x-4y (multiplicando dy);
  • A condição inicial fixa a constante da solução e o ponto em que queremos que a solução esteja.

Passo 2

Verificar se a equação é exata e explicar o que isso significa.
Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática para exatidão (quando M,N têm derivadas contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2}+y-1)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-4y)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a equação é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) cuja nível \Phi(x,y)=\text{constante} descreve a solução geral.

Passo 3

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) (a primitiva conjunta) e a solução implícita geral.
Começamos integrando M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int (9x^{2}+y-1)\,dx=3x^{3}+xy-x + h(y),
onde h(y) é uma função que pode depender só de y.
Agora impomos \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N. Calculando \Phi_y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x + h'(y).
Devemos ter x + h'(y)=N(x,y)=x-4y. Assim
h'(y)=-4y.
Integrando em y:
h(y)=-2y^{2}+C_1.
Portanto uma primitiva válida é
\Phi(x,y)=3x^{3}+xy-x-2y^{2}+C_1.
A solução implícita geral (omitindo C_1 para agrupar as constantes) é
3x^{3}+xy-x-2y^{2}=C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Usando y(1)=0, avaliamos \Phi(1,0):
3(1)^{3}+1\cdot 0 -1 -2\cdot 0^{2}=3-1=2.
Logo C=2. A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
3x^{3}+xy-x-2y^{2}=2.

Passo 5

Interpretar a solução implicita e obter a derivada \dfrac{dy}{dx} para ver como a solução se comporta localmente.
Defina
F(x,y)=3x^{3}+xy-x-2y^{2}-2.
A equação da solução é F(x,y)=0. Diferenciando implicitamente em relação a x:
F_x + F_y\frac{dy}{dx}=0.
Calculamos as derivadas parciais:
F_x=9x^{2}+y-1 \qquad\text{e}\qquad F_y=x-4y.
Portanto
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{9x^{2}+y-1}{\,x-4y\,}.
Em particular, no ponto inicial (1,0):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,0)}=-\frac{9\cdot1^{2}+0-1}{1-0}=-\frac{8}{1}=-8.
Isto dá a inclinação da solução no ponto inicial (bem inclinada negativamente).

Passo 6

Quando podemos resolver localmente para y como função de x? (Teorema da função implícita)
O teorema da função implícita garante que, se em (x_0,y_0) com F(x_0,y_0)=0 tivermos F_y(x_0,y_0)\neq 0, então existe uma vizinhança de x_0 em que existe e é única uma função y(x) que resolve F(x,y(x))=0. Aqui F_y=x-4y. No ponto inicial (1,0) temos F_y(1,0)=1\neq 0, então existe uma solução única y(x) em algum intervalo ao redor de x=1.
A validade máxima (até onde podemos estender a solução como função real de x) é limitada por pontos em que F_y=0 (onde o teorema deixa de garantir resolução única) ou por pontos onde a expressão deixa de ter sentido real (por exemplo se se torna impossível obter y real a partir da equação implícita). No nosso caso veremos isso examinando a equação como quadrática em y.

Passo 7

Resolver explicitamente para y (quando possível) e estudar o discriminante que determina onde existem raízes reais.
A equação implícita pode ser vista como quadrática em y. Reescrevendo:
-2y^{2}+xy+3x^{3}-x-2=0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo em y^{2}:
2y^{2}-xy-3x^{3}+x+2=0.
Usando a fórmula quadrática, com a=2, b=-x, c=-3x^{3}+x+2, obtemos
y(x)=\frac{x\pm\sqrt{\Delta(x)}}{4},
onde o discriminante é
\Delta(x)=b^{2}-4ac=x^{2}+8\bigl(3x^{3}-x-2\bigr).
Simplificando:
\Delta(x)=24x^{3}+x^{2}-8x-16.
Para que y(x) seja real é necessário \Delta(x)\ge 0. Além disso, quando \Delta(x)=0 as duas raízes se juntam e coincide com o lugar onde F_y=x-4y=0 (isto pode ser verificado substituindo y=x/4 em F; obtém-se exatamente a equação \Delta(x)=0). Portanto os pontos onde \Delta(x)=0 são pontos críticos além dos quais não se consegue continuar a mesma solução real de forma única.

Passo 8

Encontrar, ao menos aproximadamente, onde \Delta(x)=0 (os pontos críticos) e deduzir o intervalo de validade.
Precisamos achar as raízes reais da cúbica
P(x)=24x^{3}+x^{2}-8x-16=0.
Façamos uma busca numérica simples (método da bissecção / tentativa) para localizar a raiz real relevante próxima de x=1.
Avaliações rápidas:
P(0)=-16\quad(\text{negativo}),\qquad P(1)=24+1-8-16=1\quad(\text{positivo}).
Logo existe uma raiz em (0,1). Avaliando pontos intermediários:
P(0{,}95)\approx -2{,}1205,\qquad P(0{,}99)\approx 0{,}3471.
Interpolando linearmente entre 0{,}95 e 0{,}99 obtém-se uma boa aproximação da raiz:
x_{\text{crit}}\approx 0{,}9844\qquad(\text{aprox.}).
(Esse valor foi obtido por aproximação sucessiva; para a prova basta indicar que existe uma raiz próxima de 0{,}984 e mostrar como localizá‑la por bissecção ou Newton.)
Correspondente y crítico é y_{\text{crit}}=x_{\text{crit}}/4\approx 0{,}9844/4\approx 0{,}2461. Nesse ponto F_y=0 e \Delta=0.
Agora, o sinal de P(x) para x suficientemente grande é positivo (term 24x^3 domina), e para x<x_{\text{crit}} próximo de 1 temos P(x)<0. Assim \Delta(x)\ge 0 acontece para x\ge x_{\text{crit}} (ou seja, a partir dessa abscissa para a direita o discriminante é não negativo). Como nosso ponto inicial é x=1>x_{\text{crit}}, a solução real obtida por continuidade existe para x em um intervalo que vai de x_{\text{crit}} até +\infty. Em particular, ao deslocarmos x para a esquerda a partir de 1, atingiremos o ponto crítico aproximadamente em x\approx 0{,}9844, onde a função deixa de ser resolvível de forma única como y(x).
Portanto a máxima região real (em x) onde a solução única que passa por (1,0) existe e é de classe C^{1} inclui o intervalo
\bigl(x_{\text{crit}},+\infty\bigr)=\bigl(0{,}9844\ldots,\infty\bigr).

Resposta

3x^{3}+xy-x-2y^{2}=2 \
A solução que satisfaz y(1)=0 existe e é única por função y(x) em um intervalo em torno de x=1 e pode ser continuada para a direita até +\infty. O ramo real ligado à condição inicial é válido para x\gtrsim 0{,}9844 (aproximadamente x>0{,}9844).

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