[4] Seja f: R R uma função.
(a) Supondo que lim x a f(x)x^2025=1, calcule lim x a f(x)x.
(b) Supondo que lim x a f(x)(x-a)^2025=0, calcule lim x 0 f(x+a) cos (1x).
(c) Supondo que lim x -infty f(x)x^3+x^2=+infty, calcule lim x -infty f(x+a).

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR e pede três limites em situações diferentes. Vamos usar:
  • Para (a) e (c) propriedades de limites de quocientes e produtos, dominância de termos de maior grau e invariância por translação de limites no infinito.
  • Para (b) o fato de que
limxto af(x)(x-a)^2025=0
significa f(x)=ol((x-a)^2025r), e então aplicaremos o teorema do sanduíche junto com o fator cos(1/x) limitado em [-1,1].

Passo 2

Para (a), escrevemos
f(x)x =f(x)x^2025cdotx^2025x
Como
limxto atfracf(x)x^2025=1
e
limxto atfracx^2025x=limxto ax^2024=a^2024,
pelo teorema do produto
limxto af(x)x =1cdot a^2024 =a^2024

Passo 3

Para (b), da hipótese
limxto atfracf(x)(x-a)^2025=0
segue f(x+a)=o(x^2025) quando xto0. Então
l|f(x+a)cosl(tfrac1xr)r| <= |f(x+a)| = o(x^2025),
e como x^2025to0 para xto0, pelo teorema do sanduíche
limxto0f(x+a)cosl(tfrac1xr)=0

Passo 4

Para (c), temos
limxto-inftyf(x)x^3+x^2=+infty
Como x^3+x^2sim x^3to-infty quando xto-infty, a razão só pode divergir para +infty se f(x)to-infty. Além disso, deslocar o argumento por a não altera o limite no infinito, logo
limxto-inftyf(x+a)=-infty

Resposta

(a) a^2024
(b) 0
(c) -infty

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