[4] Seja uma função.
(a) Supondo que , calcule .
(b) Supondo que , calcule .
(c) Supondo que , calcule .
Passo 1
O enunciado define uma função e pede três limites em situações diferentes. Vamos usar:
Para (a) e (c) propriedades de limites de quocientes e produtos, dominância de termos de maior grau e invariância por translação de limites no infinito.
Para (b) o fato de que
significa , e então aplicaremos o teorema do sanduíche junto com o fator limitado em .
Passo 2
Para (a), escrevemos
Como
e
pelo teorema do produto
Passo 3
Para (b), da hipótese
segue quando . Então
e como x^2025to0 para xto0, pelo teorema do sanduíche
limxto0f(x+a)cosl(tfrac1xr)=0
Passo 4
Para (c), temos
limxto-inftyf(x)x^3+x^2=+infty
Como x^3+x^2sim x^3to-infty quando xto-infty, a razão só pode divergir para +infty se f(x)to-infty. Além disso, deslocar o argumento por a não altera o limite no infinito, logo