Calcule:
lim x +infty(1-3 / x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1 - tfrac3xr)^x
O conteúdo aqui é limite de sequência/exponencial do tipo l(1+tfracaxr)^x e vamos usar a técnica de tomar o logaritmo para transformar numa forma xln(cdot).

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(1 - tfrac3xr)^x
Para encontrar L, considere o logaritmo natural
ln L = limxto+infty x ,ln!l(1 - tfrac3xr)

Passo 3

Use a expansão para ln(1+u) quando uto0:
ln(1+u) = u - tfracu^22 + o(u^2)
Aqui u = -tfrac3x, logo
ln!l(1 - tfrac3xr) = -tfrac3x - tfrac12l(-tfrac3xr)^2 + o!l(tfrac1x^2r) = -tfrac3x - tfrac92x^2 + o!l(tfrac1x^2r)

Passo 4

Multiplicando por x e fazendo xto+infty, os termos de ordem 1/x somem, sobrando
ln L = limxto+inftyl(xcdotl(-tfrac3x - tfrac92x^2 + o(tfrac1x^2)r)r) = limxto+inftyl(-3 - tfrac92x + o(tfrac1x)r) = -3

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos
L = e^-3

Resposta

e^-3

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