40.23 • Um elétron está confinado em um poço quadrado de largura de
e profundidade
. Se o elétron está inicialmente no nível fundamental e absorve um fóton, qual é o comprimento de onda máximo do fóton para que o elétron seja liberado do poço?
Passo 1
O problema diz que temos um elétron confinado num poço quadrado de largura
e profundidade
onde
é a energia do nível fundamental num poço infinito de mesma largura. O elétron está no nível fundamental do poço finito e absorve um fóton; queremos o maior comprimento de onda desse fóton que ainda libera o elétron (isto é, lhe dá energia suficiente para “sair” do poço).
Conteúdo: mecânica quântica – poço de potencial (infinito e finito) e conservação de energia (absorção de fóton). Vamos usar:
Conteúdo: mecânica quântica – poço de potencial (infinito e finito) e conservação de energia (absorção de fóton). Vamos usar:
- fórmula de
para poço infinito; - diferença de energia entre fundo do poço e nível ligado (é
); - relação fóton:
.
Passo 2
Teoria do poço infinito (nível fundamental):
onde
-
; -
é a massa do elétron ( ); -
.
Aqui
. No poço finito, o nível ligado
é um pouco menor que
, mas o enunciado simplifica e toma
.
Para liberar o elétron, o fóton deve dar a ele pelo menos
Passo 3
Energia mínima do fóton:
Agora usamos a relação
Substituindo
:
Passo 4
Agora cálculo numérico:
Convertendo em nanômetros:
Resposta
O comprimento de onda máximo do fóton que libera o elétron é