40.21 - Um elétron está confinado em um poço quadrado de profundidade
. Qual é a largura do poço se o seu estado fundamental de energia é
?
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que um elétron está preso num poço quadrado de profundidade
e que o seu estado fundamental (nível mais baixo) tem energia
.
O que a gente quer achar é a largura desse poço.
Conteúdo: mecânica quântica – poço de potencial finito.
O que vamos precisar:
O que a gente quer achar é a largura
Conteúdo: mecânica quântica – poço de potencial finito.
O que vamos precisar:
- Expressar a relação entre energia e número de onda
dentro do poço. - Montar a equação transcendental que determina os níveis ligados em um poço finito.
- Resolver numericamente para achar o parâmetro
e daí extrair .
Passo 2
Teoria do poço finito, revisando do zero:
- Dentro do poço (onde a energia do elétron
é menor que ), a função de onda oscila como com - Fora do poço ela decai exponencialmente com
- Igualando as fronteiras em
(continuidade de e ), para o caso par (nível 1) surge a equação É ela que dita os possíveis valores de .
Passo 3
Vamos tornar tudo “dimensionless” pra simplificar. Definimos
A equação fica
E da profundidade dada:
Passo 4
- Calculamos numericamente
- Agora achamos o menor
que satisfaça testando valores: dá aproximadamente - Voltando à energia
, temos Então - Usando o valor numérico prático
,
fica(se você usar em vez de 1{,}30 dá perto de 2{,}0 Å; é só questão de aproximação no passo do “testou e achou ”.)
Resposta
A largura do poço é da ordem de grandeza de