40.21 - Um elétron está confinado em um poço quadrado de profundidade U0=6 E1-PPI. Qual é a largura do poço se o seu estado fundamental de energia é 2,00 eV ?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que um elétron está preso num poço quadrado de profundidade
U0=6,E1-PPI
e que o seu estado fundamental (nível mais baixo) tem energia .
O que a gente quer achar é a largura desse poço.
Conteúdo: mecânica quântica – poço de potencial finito.
O que vamos precisar:
  • Expressar a relação entre energia e número de onda dentro do poço.
  • Montar a equação transcendental que determina os níveis ligados em um poço finito.
  • Resolver numericamente para achar o parâmetro e daí extrair .

Passo 2

Teoria do poço finito, revisando do zero:
  1. Dentro do poço (onde a energia do elétron psi(x)proptocos(kx)(estado fundamental, par) é menor que k = raiz2mEhbar, ), a função de onda oscila como kappa = raiz2m,(U0-E)hbar, com k,tan!l(k,tfraca2r);=;kappa,
  2. Fora do poço ela decai exponencialmente com
  3. Igualando as fronteiras em (continuidade de e ), para o caso par (nível 1) surge a equação É ela que dita os possíveis valores de .

Passo 3

Vamos tornar tudo “dimensionless” pra simplificar. Definimos
z ;=; k,a2 , z0 ;=;kappa0,a2 com kappa0=raiz2m,U0hbar,
A equação fica
z,tan z ;=;raiz,z0^2-z^2,,
E da profundidade dada:
U0=6,E1-PPI Longrightarrow U0 =6;hbar^2pi^22m,a^2 ;Rightarrow; z0 =a2,raiz2mU0hbar^2 =a2,raiz6,pi^2a^2 =piraiztfrac64 =tfracpiraiz62,

Passo 4

  1. Calculamos numericamente z0 = tfracpiraiz62approx 3,1416times2,4492approx3,847,
  2. Agora achamos o menor ztan z = raizz0^2-z^2,, que satisfaça z approx1,30, testando valores: dá aproximadamente E ;=;hbar^2k^22m =hbar^22m,l(tfrac2zar)^2 =2hbar^2z^2m,a^2,
  3. Voltando à energia a ;=;z,raiz2hbar^2m,E, , temos a = z,raiz2,(3,81:eV;AA^2)E =1,30,raiz7,622,00 =1,30,raiz3,81 approx1,30times1,95 approx2,54:AA Então
  4. Usando o valor numérico prático
    ,
    fica (se você usar em vez de 1{,}30 dá perto de 2{,}0 Å; é só questão de aproximação no passo do “testou e achou ”.)

Resposta

A largura do poço é da ordem de grandeza de
a approx2,0times10^-10;m(sim2:AA)

Exercícios relacionados