40.43 • Uma partícula de massa em uma caixa unidimensional possui a seguinte função de onda na região de a :
Aqui e são as funções de onda normalizadas em estado estacionário para os níveis e e e são as energias nesses níveis. A função de onda vale zero para e para . (a) Encontre o valor da função de distribuição de probabilidade em como uma função do tempo. (b) Encontre a frequência angular na qual a função de distribuição de probabilidade oscila.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma partícula dentro de uma “caixinha” quântica 1D entre 0 e L. A função de onda é uma superposição de dois estados estacionários (n=1 e n=3) com amplitudes iguais:
Conteúdo: poço infinito unidimensional, superposição de autostados, densidade de probabilidade e frequência de oscilação. Vamos precisar das expressões de e .
Passo 2
Primeiro, lembra que para o poço 0–L temos
A gente quer e depois bem em .
Passo 3
Avalia e em :
Ou seja, e .
Passo 4
Agora monta :
A densidade de probabilidade é
Usando dá
Passo 5
A frequência angular de oscilação vem do argumento do cosseno/seno:
omega=E3-E1hbar
Como omega=4pi^2hbarmL^2 ,
Resposta
(a) Em boxedPl(tfracL2,tr) =4L,sin^2!l(E3-E12hbar,tr) a densidade de probabilidade é