40.43 • Uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional possui a seguinte função de onda na região de x=0 a x=L :
Psi(x, t)=1raiz2 psi1(x) e^-i E1 t / hbar+1raiz2 psi3(x) e^-i E3 t / hbar
Aqui psi1(x) e psi3(x) são as funções de onda normalizadas em estado estacionário para os níveis n=1 e n=3 e E1 e E3 são as energias nesses níveis. A função de onda vale zero para x<0 e para x>L. (a) Encontre o valor da função de distribuição de probabilidade em x=L / 2 como uma função do tempo. (b) Encontre a frequência angular na qual a função de distribuição de probabilidade oscila.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partícula dentro de uma “caixinha” quântica 1D entre 0 e L. A função de onda é uma superposição de dois estados estacionários (n=1 e n=3) com amplitudes iguais:
Psi(x,t)=1raiz2,psi1(x)e^-iE1t/hbar+1raiz2,psi3(x)e^-iE3t/hbar
Conteúdo: poço infinito unidimensional, superposição de autostados, densidade de probabilidade e frequência de oscilação. Vamos precisar das expressões de e .

Passo 2

Primeiro, lembra que para o poço 0–L temos
psin(x)=raiz2Lsin!l(tfracnpi xLr), En=n^2pi^2hbar^22mL^2
A gente quer e depois bem em .

Passo 3

Avalia psi1l(tfracL2r) =raiztfrac2Lsin!l(tfracpi2r) =raiztfrac2Ltimes1, e psi3l(tfracL2r) =raiztfrac2Lsin!l(tfrac3pi2r) =raiztfrac2Ltimes(-1) em :
Ou seja, e .

Passo 4

Agora monta Psil(tfracL2,tr) =1raiz2l(raiztfrac2Le^-iE1t/hbar -raiztfrac2Le^-iE3t/hbarr) =raiztfrac1Ll(e^-iE1t/hbar-e^-iE3t/hbarr) :
Pl(tfracL2,tr) =l|Psi(tfracL2,t)r|^2 =1Ll|e^-iE1t/hbar-e^-iE3t/hbarr|^2
A densidade de probabilidade é
Pl(tfracL2,tr) =2Ll[1-cos!l(tfracE3-E1hbartr)r] =4Lsin^2!l(E3-E12hbar,tr)
Usando

Passo 5

A frequência angular de oscilação vem do argumento do cosseno/seno:
omega=E3-E1hbar
Como omega=4pi^2hbarmL^2 ,

Resposta

(a) Em boxedPl(tfracL2,tr) =4L,sin^2!l(E3-E12hbar,tr) a densidade de probabilidade é
boxedomega=E3-E1hbar = 4pi^2hbarmL^2
(b) A frequência angular de oscilação é

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