40.58 •• CALC (a) Mostre, por substituição direta na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico em uma dimensão, que a função de onda
, onde
, é uma solução com energia correspondente ao nível
na Equação 40.46. (b) Encontre a constante de normalização
. © Mostre que a densidade de probabilidade apresenta o mínimo em
e o máximo em
, que correspondem aos pontos clássicos de inversão para o estado fundamental
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que
é solução da equação de Schrödinger do oscilador harmônico unidimensional, com .
Depois (b) a gente acha a constante de normalização .
E por fim © a gente mostra que a densidade de probabilidade tem mínimo em
e picos em
, que coincidem com os pontos clássicos de inversão do estado fundamental
.
é solução da equação de Schrödinger do oscilador harmônico unidimensional, com
Depois (b) a gente acha a constante de normalização
E por fim © a gente mostra que a densidade de probabilidade
O conteúdo principal é o oscilador harmônico quântico:
- A equação de Schrödinger estacionária.
- Derivação de funções com produto de exponencial e polinômio.
- Integrais gaussianas para normalização.
- Análise de máximos e mínimos de funções.
Passo 2
Parte (a) – verificar a equação de Schrödinger:
A equação é
A equação é
- Primeiro calculamos
. - Derivadas (regra do produto + cadeia):
- Substituindo na equação, os termos se combinam magicamente e a gente encontra
que é exatamente a energia do nível
.
Passo 3
Parte (b) – normalização de
:
Queremos
,
ou seja
Queremos
ou seja
A integral gaussiana com
dá
Logo
Logo
Passo 4
Parte © – máximo e mínimo de
:
A gente deriva em relação a
:
Zerando isso, achamos
ou
, ou seja
.
Testando, dá densidade zero (mínimo) e
dá picos (máximos).
Esses são exatamente os pontos de inversão clássicos do estado
, pois
implica .
Testando,
Esses
implica
Resposta
(a) Substituindo em
vemos que .
(b) A constante de normalização é
© A densidade tem mínimo em
e máximos em
, coincidindo com os pontos de inversão clássicos do estado
.
vemos que
(b) A constante de normalização é
© A densidade