40.58 •• CALC (a) Mostre, por substituição direta na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico em uma dimensão, que a função de onda psi1(x)=A1 x e^-alpha^2 x^2 / 2, onde alpha^2=m omega / hbar, é uma solução com energia correspondente ao nível n=1 na Equação 40.46. (b) Encontre a constante de normalização A1. © Mostre que a densidade de probabilidade apresenta o mínimo em x=0 e o máximo em x= pm 1 / alpha, que correspondem aos pontos clássicos de inversão para o estado fundamental n=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que

é solução da equação de Schrödinger do oscilador harmônico unidimensional, com .
Depois (b) a gente acha a constante de normalização .
E por fim © a gente mostra que a densidade de probabilidade tem mínimo em e picos em , que coincidem com os pontos clássicos de inversão do estado fundamental .
O conteúdo principal é o oscilador harmônico quântico:
  • A equação de Schrödinger estacionária.
  • Derivação de funções com produto de exponencial e polinômio.
  • Integrais gaussianas para normalização.
  • Análise de máximos e mínimos de funções.

Passo 2

Parte (a) – verificar a equação de Schrödinger:
A equação é
-hbar^22m,d^2psidx^2 ;+;12,momega^2,x^2,psi ;=;E,psi
  1. Primeiro calculamos psi1' = A1l(e^-alpha^2x^2/2 - alpha^2 x^2 e^-alpha^2x^2/2r), .
  2. Derivadas (regra do produto + cadeia):
psi1'' = A1l(-3alpha^2 x,e^-alpha^2x^2/2 + alpha^4 x^3 e^-alpha^2x^2/2r)
E = 32,hbaromega,
  1. Substituindo na equação, os termos se combinam magicamente e a gente encontra
que é exatamente a energia do nível .

Passo 3

Parte (b) – normalização de A1^2integral-infty^inftyx^2,e^-alpha^2 x^2,dx = 1 :
Queremos
A1^2,raizpi2,alpha^3 = 1 Longrightarrow A1 = l(tfrac4,alpha^3pir)^!1/4 ,
ou seja
A integral gaussiana com

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Passo 4

Parte © – máximo e mínimo de |psi1(x)|^2 = A1^2,x^2,e^-alpha^2x^2 :
ddx|psi1|^2 = A1^2,2x,e^-alpha^2x^2l(1 - alpha^2x^2r)
A gente deriva em relação a :
Zerando isso, achamos ou , ou seja .
Testando, dá densidade zero (mínimo) e dá picos (máximos).
Esses são exatamente os pontos de inversão clássicos do estado , pois

implica .

Resposta

(a) Substituindo em

vemos que .
(b) A constante de normalização é

© A densidade tem mínimo em e máximos em , coincidindo com os pontos de inversão clássicos do estado .

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