40.60 •• Considere um poço de potencial definido do seguinte modo:
para
para
e
para
(Figura P40.60). Considere uma partícula com massa
e energia cinética
que está confinada no poço. (a) A condição de contorno sobre a parede infinita
é
. Qual deve ser a forma da função de onda
para
a fim de que ela possa satisfazer simultaneamente à equação de Schrödinger e às condições de contorno? (b) A função de onda deve permanecer finita quando
. Qual deve ser a forma da função de onda
para
a fim de que ela possa satisfazer simultaneamente à equação de Schrödinger e à condição de contorno no infinito? © Imponha a condição de contorno de que
e
são contínuas para
. Mostre que as energias permitidas são obtidas das soluções da equação
, onde
е
. 40.61 • DADOS Em nossas pesquisas sobre dispositivos sólidos, estudamos uma estrutura sólida que pode ser modelada com precisão como um elétron em um poço potencial unidimensional infinito (caixa) de comprimento
. Em uma de nossas experiências, radiação eletromagnética é absorvida em transições onde o estado inicial é o estado fundamental
. Medimos que a luz com frequência
é absorvida e que o próximo nível de frequência absorvida é
. (a) Qual é o número quântico
para o estado final em cada uma das transições que levam à absorção de fótons dessas frequências? (b) Qual é a largura
do poço potencial? © Qual é o maior comprimento de onda no ar que a luz pode ser absorvida por um elétron se ele está inicialmente no estado
?
Passo 1
Então, mano, temos na primeira parte (Ex. 40.60) um poço de potencial em 1D que é infinito pra
, zero entre
, e vale
pra
. A partícula tem energia
. A gente vai usar a equação de Schrödinger independente do tempo, aplicar as condições de contorno nas fronteiras e achar (a) a forma da onda em
, (b) a forma em
, e © a condição que quantiza
, que vai dar
.
Na segunda parte (Ex. 40.61), é um poço infinito “caixa” de comprimento
. O elétron absorve fótons saindo do estado fundamental
para estados mais altos. Mediram duas frequências de luz absorvida:
Hz e
Hz. A gente vai:
(a) descobrir pra quais são essas transições,
(b) achar o tamanho da caixa,
© e, por fim, qual o maior comprimento de onda que ainda pode ser absorvido saindo de .
(a) descobrir pra quais
(b) achar o tamanho
© e, por fim, qual o maior comprimento de onda que ainda pode ser absorvido saindo de
Pra resolver tudo isso, precisamos saber:
- Como resolver Schrödinger em regiões de potencial constante.
- Energia dos níveis do poço infinito:
. - Relação fóton
energia: .
Passo 2
Ex. 40.60 (a): região
.
A Schrödinger ali é
A Schrödinger ali é
com
Mas a parede em
é infinita, então
.
Logo, no poço:
Logo, no poço:
Passo 3
Ex. 40.60 (b): região
.
Lá , então Schrödinger vira
Lá
$$-\frac{\hbar2}{2m},\frac{d2\psi}{dx^2}+(U_0)\psi=E,\psi
;\Longrightarrow;\frac{d2\psi}{dx2}-\kappa^2\psi=0
\psi(x)=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x},. $$
Mas ela tem de ficar finita quando
, então
.
Logo, fora do poço:
Logo, fora do poço:
Passo 4
Ex. 40.60 ©: condição em
.
Temos de casar e
em
:
Temos de casar
Divide (2)/(1):
$$\frac{k\cos(kL)}{\sin(kL)}=-\kappa
;\Longrightarrow;k\cot(kL)=-\kappa,. $$
É isso que quantiza a energia.
É isso que quantiza a energia.
Passo 5
Ex. 40.61 (a): descobrindo
.
Num poço infinito a energia é
Num poço infinito a energia é
logo a diferença do fundamental é
$$E_n-E_1=(n2-1)\frac{\pi2\hbar2}{2mL2}
\quad\Longrightarrow\quad f_{1\to n}=\frac{E_n-E_1}{h}
=(n2-1),\frac{\pi2\hbar2}{2mL2,h},.
\frac{f_2}{f_1}=\frac{n_22-1}{n_12-1}
\approx\frac{16{,}9}{9{,}0}=1{,}877,.
\frac{42-1}{32-1}=\frac{15}{8}=1{,}875\approx1{,}877$$
ou seja,
e
.
Passo 6
Ex. 40.61 (b): achando
.
Usando, digamos, a primeira frequência com
,
Usando, digamos, a primeira frequência
$$9{,}0\times10{14}=;(32-1),\frac{\pi2\hbar2}{2mL^2,h}
=8,\frac{\pi2\hbar2}{2mL^2,h},.
L=\sqrt{\frac{8,\pi2\hbar2}{2m,h,f_1}}
\approx9{,}5\times10^{-10}m,$$
ou seja, cerca de 0,95 nm.
ou seja, cerca de 0,95 nm.
Passo 7
Ex. 40.61 ©: maior
.
O maior comprimento de onda absorvível sai do menor salto de energia, que é .
Então
O maior comprimento de onda absorvível sai do menor salto de energia, que é
Então
onde a gente já sabia
$$f_{1\to2}=3,375\times10^{14}Hz
\quad\Longrightarrow\quad
\lambda_{\max}=\frac{c}{f_{1\to2}}\approx8{,}9\times10^{-7}m
\lambda_{\max}=\frac{c}{f_{1\to2}}\approx8{,}9\times10^{-7}m
= 890nm,. $$
Resposta
Ex. 40.60
(a) para
.
(b) para
.
© Condição de quantização: .
(a)
(b)
© Condição de quantização:
Ex. 40.61
(a) As duas transições são para (com
Hz) e para
(com
Hz).
(b) m.
© m.
(a) As duas transições são para
(b)
©