40.60 •• Considere um poço de potencial definido do seguinte modo: U(x)=infty para x<0, U(x)=0 para 0 L e U(x)=U0>0 para x>L (Figura P40.60). Considere uma partícula com massa m e energia cinética E que está confinada no poço. (a) A condição de contorno sobre a parede infinita (x=0) é psi(0)=0. Qual deve ser a forma da função de onda psi(x) para 0 a fim de que ela possa satisfazer simultaneamente à equação de Schrödinger e às condições de contorno? (b) A função de onda deve permanecer finita quando x infty. Qual deve ser a forma da função de onda psi(x) para x>L a fim de que ela possa satisfazer simultaneamente à equação de Schrödinger e à condição de contorno no infinito? © Imponha a condição de contorno de que psi e d psi / d x são contínuas para x=L. Mostre que as energias permitidas são obtidas das soluções da equação k cotan k L=-kappa, onde k=raiz2 m E / hbar е L. 40.61 • DADOS Em nossas pesquisas sobre dispositivos sólidos, estudamos uma estrutura sólida que pode ser modelada com precisão como um elétron em um poço potencial unidimensional infinito (caixa) de comprimento n=1. Em uma de nossas experiências, radiação eletromagnética é absorvida em transições onde o estado inicial é o estado fundamental f=9,0 times 10^14 Hz. Medimos que a luz com frequência 16,9 times 10^14 Hz é absorvida e que o próximo nível de frequência absorvida é n. (a) Qual é o número quântico L para o estado final em cada uma das transições que levam à absorção de fótons dessas frequências? (b) Qual é a largura n=1 do poço potencial? © Qual é o maior comprimento de onda no ar que a luz pode ser absorvida por um elétron se ele está inicialmente no estado ?

Passo 1

Então, mano, temos na primeira parte (Ex. 40.60) um poço de potencial em 1D que é infinito pra x<0, zero entre 0, e vale U0>0 pra x>L. A partícula tem energia E. A gente vai usar a equação de Schrödinger independente do tempo, aplicar as condições de contorno nas fronteiras e achar (a) a forma da onda em 0, (b) a forma em x>L, e © a condição que quantiza E, que vai dar kcot(kL)=-kappa.
Na segunda parte (Ex. 40.61), é um poço infinito “caixa” de comprimento L. O elétron absorve fótons saindo do estado fundamental n=1 para estados mais altos. Mediram duas frequências de luz absorvida: f1=9,0times10^14,Hz e f2=16,9times10^14,Hz. A gente vai:
(a) descobrir pra quais n são essas transições,
(b) achar o tamanho L da caixa,
© e, por fim, qual o maior comprimento de onda que ainda pode ser absorvido saindo de n=1.
Pra resolver tudo isso, precisamos saber:
  1. Como resolver Schrödinger em regiões de potencial constante.
  2. Energia dos níveis do poço infinito: En = dfracn^2pi^2hbar^22mL^2.
  3. Relação fóton to energia: Egamma=hf.

Passo 2

Ex. 40.60 (a): região 0.
A Schrödinger ali é
-hbar^22m,d^2psidx^2=E,psiLongrightarrowd^2psidx^2+k^2psi=0
com k=raiz2mE/hbar. A solução geral é
psi(x)=Asin(kx)+Bcos(kx),
Mas a parede em x=0 é infinita, então psi(0)=0implies B=0.
Logo, no poço:
boxedpsi(x)=A,sin(kx),, 0

Passo 3

Ex. 40.60 (b): região x>L.
U=U0>E, então Schrödinger vira
$$-\frac{\hbar2}{2m},\frac{d2\psi}{dx^2}+(U_0)\psi=E,\psi
;\Longrightarrow;\frac{d2\psi}{dx2}-\kappa^2\psi=0 -hbar^22m,d^2psidx^2+(U0)psi=E,psi ;Longrightarrow;d^2psidx^2-kappa^2psi=0çãé\psi(x)=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x},. $$
Mas ela tem de ficar finita quando kappa=raiz2m(U0-E)/hbar, então psi(x)=Ce^kappa x+De^-kappa x, .
Logo, fora do poço:
xtoinfty

Passo 4

Ex. 40.60 ©: condição em x=L.
Temos de casar psi e psi' em L:
  1. ;Asin(kL)=D,e^-kappa L
  2. ;A,kcos(kL)=-D,kappa,e^-kappa L
Divide (2)/(1):
$$\frac{k\cos(kL)}{\sin(kL)}=-\kappa
;\Longrightarrow;k\cot(kL)=-\kappa,. $$
É isso que quantiza a energia.

Passo 5

Ex. 40.61 (a): descobrindo n.
Num poço infinito a energia é
En=n^2pi^2hbar^22mL^2,,
logo a diferença do fundamental é
$$E_n-E_1=(n2-1)\frac{\pi2\hbar2}{2mL2}
\quad\Longrightarrow\quad f_{1\to n}=\frac{E_n-E_1}{h}
=(n2-1),\frac{\pi2\hbar2}{2mL2,h},. En-E1=(n^2-1)pi^2hbar^22mL^2 Longrightarrow f1to n=En-E1h =(n^2-1),pi^2hbar^22mL^2,h, ê\frac{f_2}{f_1}=\frac{n_22-1}{n_12-1}
\approx\frac{16{,}9}{9{,}0}=1{,}877,. f2f1=n2^2-1n1^2-1 approx16,99,0=1,877, \frac{42-1}{32-1}=\frac{15}{8}=1{,}875\approx1{,}877$$
ou seja, 4^2-13^2-1=158=1,875approx1,877 e n1=3.

Passo 6

Ex. 40.61 (b): achando L.
Usando, digamos, a primeira frequência f1 com n=3,
$$9{,}0\times10{14}=;(32-1),\frac{\pi2\hbar2}{2mL^2,h}
=8,\frac{\pi2\hbar2}{2mL^2,h},. 9,0times10^14=;(3^2-1),pi^2hbar^22mL^2,h =8,pi^2hbar^22mL^2,h, íL=\sqrt{\frac{8,\pi2\hbar2}{2m,h,f_1}}
\approx9{,}5\times10^{-10}m,$$
ou seja, cerca de 0,95 nm.

Passo 7

Ex. 40.61 ©: maior lambda.
O maior comprimento de onda absorvível sai do menor salto de energia, que é 1to2.
Então
f1to2=(2^2-1)pi^2hbar^22mL^2,h=3,frm unit,,
onde a gente já sabia frm unit=f1/8=1,125times10^14 Hz. Logo
$$f_{1\to2}=3,375\times10^{14}Hz
\quad\Longrightarrow\quad
\lambda_{\max}=\frac{c}{f_{1\to2}}\approx8{,}9\times10^{-7}m
= 890nm,. $$

Resposta

Ex. 40.60
(a) psi(x)=Asin(kx) para 0.
(b) psi(x)=D,e^-kappa x para x>L.
© Condição de quantização: kcot(kL)=-kappa,.
Ex. 40.61
(a) As duas transições são para n=3 (com f=9,0times10^14 Hz) e para n=4 (com f=16,9times10^14 Hz).
(b) Lapprox9,5times10^-10 m.
© lambdamaxapprox8,9times10^-7 m.

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